Шрифт:
R
(1)
(s)=3
nf
f=1
Q
2
f
1+
s(Q2)
(15.9)
Поправки второго порядка вычислены в работах [67, 95]. В перенормировочной схеме MS во втором порядке теории возмущений
R
(2)
(s)
=
3
nf
f=1
Q
2
f
1+
s(Q2)
+r
2
s(Q2)
2
,
r
2
=
[
2
3
(3)-
11
12
]
n
f
+
365
24
– 11(3)2.0-0.12n
f
(15.10)
Здесь — дзета-функция Римана, а для константы сильных взаимодействий s следует использовать выражение второго порядка теории возмущений.
Необходимо рассмотреть еще вопрос о том, сколько ароматов кварков следует учитывать. Этот вопрос тесно связан с проблемой кварковых масс. Если масса кварка mq удовлетворяет условию s>>m2q , то возникают поправки типа O(m2q/s). В пределе s-> они пренебрежимо малы по сравнению с поправками любого порядка по параметру s . Совершенно иная ситуация возникает, когда m2q>>s и передаваемой энергии недостаточно для рождения дополнительных кварк-антикварковых пар. Этот вопрос будет подробно рассмотрен несколько ниже; здесь же мы примем эвристический рецепт, состоящий в том, что суммы по ароматам кварков следует распространять на ароматы только тех кварков, массы которых удовлетворяют условию m2q<
Рис. 11. Зависимость величины R от s. Штриховой линией показано (ведущее) предсказание КХД для R [265].
С учетом этих замечаний теоретические предсказания хорошо согласуются с экспериментальными данными, как видно на рис. 11, где приведены результаты первой экспериментальной проверки КХД25. Однако из-за больших систематических ошибок экспериментальных данных при такой проверке трудно выйти за рамки ведущего порядка теории возмущений КХД.
25 Более строгое рассмотрение этого вопроса дано в статье [ 29] и а цитированных там работах.
§16. Зависимость параметров теории и вычислений от выбора перенормировочной схемы
В квантовой электродинамике существует естественная перенормировочная схема, задаваемая тем фактом, что фотон и электрон находятся на массовой поверхности. Преимущество такой схемы следует из теоремы Тирринга [245], согласно которой при нулевой энергии фотона амплитуда комптоновского рассеяния (во всех порядках по константе ) точно дается классической формулой. Таким образом, для определения фундаментальных параметров теории и me можно пользоваться классическими выражениями. В квантовой хромодинамике такой выделенной схемы, основывающейся на физических соображениях, нет. Таким образом, необходимо обсудить вопрос об изменениях, возникающих при переходе от одной перенормировочной схемы к другой. Пренебрежем массами кварков и калибровочными параметрами; их введение не внесет каких-либо дополнительных проблем, отличных от обсуждаемых здесь.
Рассмотрим некоторую физически наблюдаемую величину P. Очевидно, она не должна зависеть от перенормировочной схемы, использованной в процессе вычислений. Однако если эту величину представить в виде ряда по степеням константы связи
P=
n
C
n
(R)[
s
(R)]
n
,
(16.1)
то коэффициенты Cn и константа связи s будут зависеть от используемой схемы перенормировки R. Если перейти к новой перенормировочной схеме R' то связь между старой и новой схемами можно найти следующим образом. Разложим величину P, вычисленную в рамках новой перенормировочной схемы, в ряд по степеням константы связи s(R') :
P=
n
C
n
(R')[
s
(R')]
n
,
(16.2)
Подставляя в формулу (16.2) выражение для s(R'), записанное в виде ряда по константе s(R), и приравнивая члены одинакового порядка в (16.2) и (16.1), найдем связь между коэффициентами, вычисленными в исходной и в новой перенормировочных схемах. Разложение константы s(R') по степеням константы s(R) можно записать в виде
s
(R')=
s
(R)
{1+a
1
(R',R)(R)+…}.
Очевидно, что первым членом разложения является единица, так как в нулевом порядке теории возмущений s=g22/(4) не зависит от выбора схемы. Это означает, что C0,1(R)=C0,1(R'). Но все остальные коэффициенты при переходе от одной перенормировочной схемы в другой изменяются:
C