Теория поля определяется заданием соответствующего лагранжиана. Если i– поля, фигурирующие в теории, то лагранжиан является функцией от полей i и их пространственно-временных производных i. Лагранжиан L (в действительности L представляет собой плотность лагранжевой функции) принято разбивать на два слагаемых L0 и Lint; при этом член L0 описывает динамику свободных полей (он получается из лагранжиана L, если принять все взаимодействия равными нулю), а член Lint который определяется как разность Lint = L - L0 , описывает взаимодействия между полями. Например, в квантовой хромодинамике полный лагранжиан выражается в виде (1.11), а лагранжиан свободных полей записывается в следующем виде:

L

0

=

q

(x)(i

 -

m

q

)q(x)

–

1/4

(

B

(x) -

B

(x))

q

a

 

q

 

a

x

(

B

a

(x) -

B

a

(x)).

Кроме основных, или элементарных, полей i, фигурирующих в теории (в случае КХД это поля q для кварков и B для глюонов), часто встречаются составные операторы (как правило, это локальные комбинации полей i), т.е. комбинации» содержащие произведения конечного числа полей i и их производных, взятых в одной и той же точке x. Например, в КХД используются операторы токов q(x)q'(x). Конечно, и сам лагранжиан L(х) является составным локальным оператором.

Из локальных полей или из локальных операторов (элементарных или составных) можно образовать новые локальные операторы. Самый простой способ заключается в обычном перемножении операторов. Но имеются два других типа произведений, которые будут неоднократно рассматриваться в дальнейшем, — виковское и хронологическое произведения локальных операторов. Для свободных полей виковское, или нормальное, произведение определяется следующим образом. Разложим поля i по операторам рождения и уничтожения. Результат имеет вид

i

(x)

 =

C

(n)

(x)a

n

+

C

(n)

(x)

a

+

 ,

i

i

n

n

n

где операторы a и a могут совпадать или не совпадать. Например, если поля отождествить с кварковыми полями q , то их разложение имеет вид

q(x)

 =

1

d

p

{

e

– ip·x

u(p,)a(p,) + e

ip·x

v(p,)

a

+

(p,)

}

,

(2)

3/2

2p

0

где u и v - обычные дираковские спиноры, а a+ (a+) - операторы рождения частиц (античастиц). Виковское произведение : 1(x1)2(x2): получается перестановкой всех операторов рождения левее всех операторов уничтожения. При перестановках учитываются коммутационные (антикоммутационные) соотношения между бозонными (фермионными) операторами. В результате получается

:

1

(x

1

)

2

(x

2

):

 

n,n'

C

(n)

1

(x

1

)

C

(n)

2

(x

2

)a

n

a

n'

+

C

(n)

1

(x

1

)

C

(n)

2

(x

2

)

a

+

n

a

+

n'

+

C

(n)

1

(x

1

)C

(n')

2

(x

2

)

a

+