n

a

n'

+

(-1)

C

(n)

1

(x

1

)

C

(n')

2

(x

2

)

a

+

n'

a

n

,

Здесь = 1 для фермионов и = 0 для бозонов.

Обобщение определения виковского произведения на большее число сомножителей :1(x1) … n(xn): или на виковское произведение от других виковских произведений типа : ( :1(x1)2(x2): ) ( :3(x3)4(x4): ) : производится непосредственно. Рецепт состоит в следующем: поля разлагают по операторам рождения и уничтожения и, учитывая коммутационные соотношения, переписывают выражение так, чтобы операторы рождения стояли левее операторов уничтожения.

Нетрудно проверить, что виковское произведение локальных операторов, взятых в одной и той же точке, тоже локально3), т. е. если операторы O1,…,On локальны, то и виковское произведение этих операторов :O1(x)…On(x): локально.

3 Оператор O(x) называется локальным, если при преобразованиях Пуанкаре он преобразуется по формуле U(a,)O(x)U– 1(a,) = P·O'(x+a) и коммутирует сам с собой в разных пространственных точках.

Еще одним важным свойством виковского произведения является его регулярность. Иными словами, для любых состояний a и b матричные элементы от виковского произведения а| :O1(x1)…On(xn): |b являются регулярными функциями переменных (x1),…,(xn).

Хронологическое произведение, или Т-произведение, локальных (элементарных или составных) операторов O1(x1)…On(xn) определяется следующим образом:

TO1(x1)…On(xn) T{ O1(x1)…On(xn) } = (-1)Oi1(xi1) … Oin(xin)

В правой части этого выражения операторы расположены в такой последовательности, что их временные аргументы удовлетворяют условию x0i1 >= x0i2 >= … >= x0in , а параметр равен числу перестановок индексов, соответствующих фермионным операторам, которые необходимо выполнить,чтобы из исходной последовательности 1,…,n составить последовательность i1,…,in. Иначе говоря, хронологическое произведение TO1(x1)…On(xn) можно получить, переставляя операторы так, чтобы их временные аргументы образовывали невозрастающую последовательность, учитывая при этом коммутационные (антикоммутационные) соотношения для бозонных (фермионных) операторов. Например, для двух сомножителей q1(x) и q2(y) получаем

Tq1(x)q2(y) = (x0– y0)q1(x)q2(y) - (y0– x0)q2(y)q1(x)

или

Tq1(x)B2(y) = (x0– y0)q1(x)B2(y) + (y0– x0)B2(y)q1(x)

Следует помнить, что бозонные и фермионные операторы всегда коммутируют и хронологическое произведение операторов релятивистски инвариантно.

S-матрица представляет собой оператор, переводящий векторы, отвечающие свободным состояниям системы в момент времени t=- в векторы, отвечающие свободным состояниям этой системы в момент времени t=+. S-матрица может быть получена из лагранжиана взаимодействия при помощи формулы Мэттьюза

S

 =

T exp i

d

4

xL

0

int

(x).

(2.1а)

Здесь L0int(х) — лагранжиан взаимодействия, выраженный через нормально упорядоченные произведения полей, удовлетворяющих тем же коммутационным соотношениям, что и свободные поля. Хронологическая экспонента представляет собой формальное выражение, фактически определяемое разложением в ряд:

S

 =

T exp i

d

4

xL

0

int

(x)

 

1 + i

d

4

xL

0

int

(x) + …

+

i

n

d

4

x

1

… d

4

x

n

TL

0

(x

1

) … L

0

(x

n

) … .

n!

int

int

(2.1б)

Часто вместо матричных элементов S-матрицы будут рассматриваться матричные элементы токов (или произведений токов), а также матричные элементы составных операторов более общего вида. Их можно получить, введя в лагранжиан взаимодействия L0int вспомогательные члены. Предположим, например, что рассматривается матричный элемент вида