Шрифт:
a|TJ
1
(x)J
2
(y)|b
=
2
1
(x)
2
(y)
x
a|T exp i
d
4
z
{
L
0
int
(z) +
i
J
0
i
(z)
i
(z)
}
|b
=
n=0
in
n!
a|
d
4
x
1
…d
4
x
n
TL
0
int
(x
1
)…
xL
0
int
(x
n
)J
0
1
(x)J
0
2
(y)|b .
(2.4)
Для того чтобы приравнять правую часть (2.4) матричному элементу (2.2), использована формула (доказанная Боголюбовым и Ширковым [45], см. также § 39 и 42; определение функциональной производной дано в приложении 3)
2S
1(x) 2(y)
= 0
=
TJ
1
(x)J
2
(x) .
(2.5)
Рассмотрим вопрос о релятивистской инвариантности и унитарности S-матрицы. Если оператор U(a,) осуществляет некоторое преобразование из группы Пуанкаре, то должно выполняться соотношение
U(a,)SU
– 1
(a,) = S ,
(2.6)
из которого следует, что S-матрица представляет собой релятивистски инвариантный оператор. S-матрица является также унитарным оператором:
S
+
S
=
SS
+
= 1 .
(2.7)
Записав выражение для S-матрицы в виде
S = i ,
где матричные элементы a||b представляют собой так называемую амплитуду перехода системы из состояния |a в состояние |b, получим из (2.7) соотношение для оператора
Im
a
|
|
b
= 1/2
c
|
|
b
c
|
|
b
*
.
all c
(2.8)
(При выводе соотношения (2.8) предполагалась инвариантность S-матрицы по отношению к обращению времени.) При разложении левой и правой частей (2.6) и (2.8) по степеням константы связи g в каждом порядке теории возмущений возникают определенные соотношения. В силу линейности уравнение (2.6) сохраняет свой вид в каждом порядке разложения по константе связи g. Нелинейность же уравнения (2.8) приводит к смешиванию членов разного порядка малости по константе связи. Например, если написать
=
g
n = 0
g
n
n
то, ограничиваясь членами второго порядка малости по g, имеем
Im
a
|
2
|
b
= 1/2
all c
{
c
|
0
|
b
c
|
2
|
a
*
+
c
|
2
|
b
c
|
0
|
a
*
+
c
|
1
|
b
c
|
1
|
a
*
}
.
(2.9)