Шрифт:
Завершим краткий обзор основных вопросов теории поля введением редукционных соотношений. Рассмотрим амплитуду рассеяния, например для процесса a + b -> a' + b', где a и a' - бозоны, описываемые полями a и a'. Амплитуду рассеяния можно записать в виде
a',b'
|
S
|
a,b
=
lim
a',b',t'
|
a,b,t
.
t'->+
t->–
Если через pi обозначить импульс частицы i и использовать формулу (подробный вывод редукционных соотношений содержится, например, в книге Бьёркена и Дрелла [ 40])
i
2(2)
3/2
a
+
(p
a
)
=
lim
d
x
e
– ipa·x
0
+
(x) ,
t->–
то посыле некоторых вычислений можно получить редукционные соотношения типа
a',b'
|
S
|
a,b
=
i
d
4
x e
– ipa·x
(2)
3/2
x(
2
+ m
2
)
a',b'
|
+
(x)
|
b
.
a
a
Мы не будем выводить редукционных соотношений или выписывать их полный набор, который можно найти в книге [40], но приведем лишь несколько типичных примеров их использования. Если кроме бозона a "редуцировать" также бозон a', то получается соотношение
a',b'
|
S
|
a,b
=
i
x
– i
d
4
x
d
4
y e
– ip·x
e
ip·y
(2)
3/2
(2)
3/2
x
(
2
+ m
2
)(
2
+ m
2
)
b'
|
T
(y)
+
(x)
|
b
.
x
a
y
a'
a'
В результате применения редукционных соотношений в конечном счете получаем фурье-образ от вакуумного среднего T-произведения четырех операторов полей
0
|
T
(y)
(z)
+
(x)
+
(w)
|
0
.
a'
b'
a
b
Обобщение этой процедуры на случай спинорных или векторных полей производится весьма просто. Например, заменяя скалярную частицу a на фермион с импульсом ра и спином и обозначая соответствующее ему поле буквой , получаем
a',b'|S|(p
a
,),b=
=
i
(2)
3/2
d
4
x
a',b'
|
(x)
|
b
(
+ m
a
)u(p,)
e
– ipa·x
.
Наконец, перейдем к теореме Вика. Выражения типа (2.1б) позволяют вычислить в каждом порядке теории возмущений элементы S-матрицы (или матричные элементы токов и гриновские функции). При этом используется теорема Вика. Рассмотрим хронологическое произведение двух свободных полей T01 (x)102 (x)2. Поля i можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид