f

ep

2

(x,Q

2

)

=

Q2->

x

 

f

Q

2

f

q

f

(x).

(17.11)

Следует заметить, что сумма по индексу f распространяется также на антикварки, так как ожидается, что вероятность обнаружения внутри протона антикварка не равна нулю. Несколько ниже мы перепишем выражение (17.11) в более подробной форме, конкретизируя некоторые свойства различных плотностей распределения кварков qf(х).

Замечательной особенностью выражения (17.11) является скейлинг. Скейлинг был предсказан Бьеркеном [39] еще до возникновения партонной модели, которая, по существу, была введена для его объяснения. Скейлинг означает, что в пределе Q2– > структурные функции fai(x,Q2) становятся не зависящими от переменной Q2 :

f

a

i

(x,Q

2

)

– >f

a

i

(x)

(17.12)

при Q2– > и фиксированном x .

Как будет показано ниже, КХД подтверждает наличие скейлинга в том смысле, что в рамках квантовой хромодинамики предсказывается его существование с точностью до логарифмических поправок (log Q2/2)2. Более того, эти поправки можно вычислить, и полученные результаты подтверждаются экспериментальными измерениями нарушения скейлинга.

§18. Операторное разложение

Для строгого анализа произведения операторов, взятых в точках, разделенных малым или светоподобным интервалом, служит метод операторного разложения (operator product expansion — OPE)29). Обсуждение этого метода начнем с простейшего случая хронологического произведения двух свободных безмассовых скалярных полей (x)(y). В пределе x->y это произведение сингулярно. Но сингулярность представляет собой просто c-число. Ее можно выделить из -произведения, записав его в виде

29) Метод операторного разложения был предложен Вильсоном [268], а затем развит для случая малых расстояний в работах [270, 281] и др. Случай операторов, взятых на световом конусе, рассмотрен в работах [51, 128]. Для расчетов процессов глубоконеулругого рассеяния этот метод был применен в работе [70]; использование операторного разложения в КХД обсуждается в статьях [142, 161, 162].

(x)(y)

=

(x-y)1

+

:(x)(y): ,

где 1 — единичный оператор, а — пропагатор скалярного поля

(x)=

1

(2)4

d

4

k e

– ik·x

1

k2+i0

=

1

(2)2

·

1

x2+i0

.

В пределе x->y оператор :(x)(y): и, конечно, единичный оператор 1 являются регулярными величинами.

В общем случае произведение локальных (элементарных или составных) операторов A и B, взятых в точках x и y , разделенных малым интервалом, можно записать в виде вильсоновского разложения

TA(x)B(y)=

 

t

C

t

(x-y)N

t

(x,y)

 

,

(18.1)

где вильсоновские коэффициенты Ct в общем случае представляют собой сингулярные c-числовые функции разности x-y, a Nt(x,у) - билокальные операторы, регулярные в пределе x->y. Последние обозначены буквой N, чтобы подчеркнуть, что они являются составными нормально упорядоченными операторами. Разложение вида (18.1) является не чем иным, так обобщением разложения в случае свободных полей. Запишем T-произведение двух операторов А(х) и B(х) в виде

TA(x)B(y)=

i n

n!

d

z

1

…

d

z

n

TA

0

(x)B

0

(y)L

0

int

(z

1

)…L

(z

n

) .

Здесь индекс 0 означает, что соответствующие величины строятся из свободных полевых функций. Применяя к этому выражению теорему Вика, приходим к разложению (18.1). Но необходимость записи приведенного выражения в общем виде возникает довольно редко. Если нас интересует поведение произведения операторов в пределе x->y, то можно прибегнуть к более простому способу. А именно достаточно рассмотреть базис, образованный всеми операторами, обладающими теми же квантовыми числами и трансформационными свойствами, что и исходное произведение AB (в частности, если операторы A и B скалярные и калибровочно-инвариантные, то при построении базиса дрлжны быть рассмотрены только скалярные и калибровочноинвариантные операторы). В этом случае имеем операторы