Решение динамических задач часто облегчается использованием законов сохранения энергии, импульса и момента импульса. Особенно эффективным является использование этих законов в тех случаях, когда действующие силы непостоянны и непосредственное решение уравнений динамики с помощью элементарной математики невозможно. Закон сохранения энергии широко используется при решении задач о движении космических аппаратов. Как и в (1), выражение для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли удобно записать через ускорение свободного падения на поверхности Земли:

E

п

(r)

=-

G

mM

r

=-

mgR^2

r

.

(3)

В выражении (3) потенциальная энергия стремится к нулю при r->, т.е. потенциальная энергия тяготения тела, удалённого на бесконечность, принята равной нулю.

Скорость спутника, движущегося по круговой орбите радиусом r называется первой космической скоростью. Её можно найти с помощью второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения:

v

I

=

gR^2/r

Для спутника, движущегося вблизи поверхности Земли, первая космическая скорость vI=gR=7,9 км/с.

Минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, находящемуся на расстоянии r от центра Земли, для того чтобы оно удалилось на бесконечность, носит название второй космической скорости. Её можно найти с помощью закона сохранения энергии:

v

II

=

2gR^2/r

=

2

v

I

.

Для тела, находящегося на поверхности Земли,

v

II

=

2gR

=

11,2 км/с

.

Тело удалится на бесконечность независимо от того, в каком направлении сообщена ему вторая космическая скорость, хотя траектории при этом будут разные (но все параболические!). Если сообщить телу скорость больше второй космической, то оно удалится по гиперболе. Если начальная скорость меньше второй космической, то тело движется по эллипсу, один из фокусов которого совпадает с центром Земли. Это утверждение носит название первого закона Кеплера, который был открыт в результате наблюдений за движением планет вокруг Солнца.

При решении задач будут использоваться также второй и третий законы Кеплера. Согласно второму закону Кеплера секторная скорость спутника постоянна. Третий закон Кеплера утверждает, что квадраты периодов обращения спутников относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит.

Законы Кеплера можно вывести с помощью уравнений динамики и закона всемирного тяготения.

При решении задач, в которых встречается колебательное движение, следует помнить, что при гармонических колебаниях, когда равнодействующая всех сил направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению, круговая частота колебаний определяется соотношением

=

k/m

где m - масса тела, а k - коэффициент пропорциональности между силой и смещением. Применение этой формулы к малым колебаниям математического маятника длиной l даёт =g/l.

1. Неподвижный блок.

Через неподвижный блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами m и M, причём m<

При указанных в условии идеализациях задача, конечно же, тривиальна. Если m<

Рис. 1.1. Силы, действующие на грузы во время движения

Разумеется, этот результат можно получить и строго. Рассматривая действующие на грузы силы (рис. 1.1) и проецируя уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов на вертикальное направление, получаем

Mg

–

T

=

Ma

,

(1)

mg

–

T

=-

ma

.

(2)

Исключая из этих уравнений ускорение грузов a находим

T

=

2mM

m+M

g

.

При m<

А теперь предположим, что, начав решать эту задачу строго и записав уравнения (1) и (2), мы сообразили, что при заданном условии m<