Шрифт:
Подумаем теперь, как можно уточнить решение этой задачи, если отказаться от некоторых из сделанных выше упрощающих предположений. Оказывается, сравнительно просто можно учесть движение воды, вытесняемой телом.
Прежде всего отметим, что при равномерном движении тела в жидкости сопротивление, которое оказывает жидкость его движению, обусловлено силами вязкого трения. Однако при неравномерном движении картина будет существенно иная. Даже при движении в идеальной жидкости следует учитывать, что ускорение сообщается не только телу, но и частицам самой жидкости. Как это скажется на движении тела?
Чтобы покоившееся тело массы m привести в движение со скоростью v, нужно совершить работу, равную mv^2/2. Из-за увлечения жидкости, окружающей тело, её частицы приобретут скорости, пропорциональные скорости тела v. В результате увлечённая телом жидкость будет обладать кинетической энергией, пропорциональной v^2, для сообщения которой потребуется дополнительная работа. Поэтому работа по приведению в движение погружённого в жидкость тела пропорциональна v^2, но больше mv^2/2. Записывая эту работу в виде
A
=
Mv^2
2
,
где M>v приходим к выводу, что при погружении тела в жидкость оно будет двигаться под действием внешних сил так, как будто его масса увеличилась. Дополнительная, так называемая присоединённая масса характеризует инертные свойства окружающей жидкости. Значение присоединённой массы зависит от плотности жидкости и формы тела.
Посмотрим, что изменится в решении задачи при учёте присоединённой массы. Очевидно, что ускорение тела при его движении в жидкости под действием силы тяжести mg и выталкивающей силы mg будет равно a'=g(m-m). Именно на эту величину заменится ускорение a=g(1-m/m) в выражениях для t и t и в уравнении (1). Если теперь через x обозначить g(m-m)t/2M, то уравнение (2) будет иметь прежний вид. Так как тело тонет при m>m, то из уравнения (2), как и раньше, нужно найти условия, при которых x>0.
Таким образом, учёт присоединённой массы не изменяет ответа в этой задаче.
3. Санки на горе.
Склон горы образует угол с горизонтом. Под каким углом (рис. 3.1) следует тянуть за верёвку, чтобы равномерно тащить санки в гору с наименьшим усилием? Какова должна быть эта сила?
Рис. 3.1. Под каким углом следует тянуть за верёвку?
Рис. 3.2. Силы, действующие на санки
Считая санки материальной, точкой, можно принять что все действующие на санки силы - и сила тяжести mg, и сила реакции поверхности горки Q, и сила F, с которой тянут за верёвку, - приложены в одной точке (рис. 3.2). При равномерном движении санок векторная сумма всех действующих сил равна нулю:
F
+
Q
+
mg
=
0.
(1)
Для исследования уравнения (1) спроецируем это векторное равенство на два взаимно перпендикулярных направления: вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей. При этом учтём, что проекция силы Q на направление нормали к плоскости есть нормальная сила реакции N, а проекция Q на направление вдоль плоскости есть сила трения скольжения Fтр. В результате вместо (1) получим
F cos
–
F
тр
–
mg sin
=
0,
(2)
F sin
+
N
–
mg cos
=
0.
(3)
Для исследования зависимости силы F от угла необходимо исключить из этих уравнений N и Fтр, так как они сами зависят от угла . На основании закона Кулона - Амонтона
F
тр
=
N
.
(4)
Выражая силу N из уравнения (3) и подставляя в (4), получаем
F
тр
=
(
mg cos
–
F sin
).
(5)
Учитывая это выражение для силы трения, из уравнения (2) находим
F
=
mg
sin + cos
cos + sin
.
(6)
Числитель этого выражения не зависит от , поэтому сила F будет наименьшей, когда знаменатель максимален. Поэтому будем искать максимум выражения
f
=
cos
+
sin
.
(7)
Для нахождения максимума можно приравнять нулю производную этой функции: f'=0. Можно найти максимум и элементарно, сведя f к одной тригонометрической функции угла . Введём некоторую величину так, чтобы tg был равен коэффициенту трения :
=
tg
=
sin
cos
.
(8)
Такая замена возможна при любом , так как тангенс изменяется от - до . Подставляя , из соотношения (8) в выражение (7) и приводя правую часть к общему знаменателю, получаем