Этот пример ярко иллюстрирует то обстоятельство, что в физике понятия «малая величина» и «большая величина» сами по себе бессмысленны. Если «большая» или «малая», то обязательно должно быть указано, по сравнению с чем. Подставляя приближённое значение a=g в уравнения (1) или (2), мы выражаем силу натяжения нити T через силу тяжести, действующую соответственно на тяжёлый или на лёгкий груз. Поскольку сила T того же порядка величины, что и сила тяжести лёгкого груза mg, то уравнение (2) даёт правильный ответ.

Подстановка a=g в уравнение (1) не приводит к правильному ответу, ибо по сравнению с большой величиной Mg и нуль, и 2mg - это почти одно и то же. Чтобы уравнение (1) приводило к правильному ответу, в нем нужно учесть малое отличие a от g.

Используя понятие большой или малой величины, нужно обязательно отдавать себе отчёт, с чем эта величина сравнивается. И хотя во многих случаях это явно не оговаривается, но всегда подразумевается. Так, например, в этой задаче, пренебрегая массой блока и массой нити, мы не оговорили, по сравнению с чем малы эти величины. А кстати, по сравнению с чем?

2. Нефизическая задача.

Тело сбрасывается в воду с некоторой высоты без начальной скорости; при этом измеряется глубина его погружения за одну секунду после вхождения в воду. Установлено, что если начальную высоту изменить в k раз, то глубина погружения изменится в l раз. При каких соотношениях между k и l тело тонет в воде? Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.

Любой физический процесс представляет собой сложное явление. Составляя условие задачи, мы фактически всегда упрощаем рассматриваемые явления, отбрасывая несущественные, а часто, к сожалению, и существенные стороны. Например, решая задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту, мы пренебрегали сопротивлением воздуха.

В рассматриваемой задаче предлагается пренебречь ещё и сопротивлением воды. Если пренебрежение сопротивлением воздуха часто бывает оправданным (особенно при малых скоростях), то пренебрегать сопротивлением воды в этой задаче нельзя, так как получаемые при таком подходе результаты не имеют ничего общего с действительностью: бессмысленно было бы проверять полученный ответ на опыте. Действительно, мы не учитываем фонтан брызг, поднимаемых телом при ударе о воду; расходящуюся по поверхности волну; вязкость воды; не учитываем движение воды, вытесняемой телом.

И всё же такие «нефизические» задачи имеют право на существование: во-первых, благодаря своей чёткой постановке (в условии указано, чем пренебречь) они позволяют научиться применять физические законы для количественного анализа искусственно упрощённых явлений; во-вторых, в некоторых случаях такое решение может послужить основой (нулевым приближением) для дальнейших уточнений.

Но вернёмся к нашей «нефизической» задаче. Даже при таких упрощениях на первый взгляд не ясно, с чего начинать. Обратимся к вопросу, поставленному в задаче: при каком условии тело тонет в воде? Тело тонет, если его масса m больше массы воды m того же объёма, что и тело. Таким образом, требуется выяснить, при каких условиях m/m<1.

Движение тела в воде происходит под действием двух постоянных сил: силы тяжести mg и выталкивающей силы Архимеда -mg, и, следовательно, будет равнопеременным с ускорением a=g(1-m/m). Поскольку скорость тела перед входом в воду v=2gh то перемещение тела в воде за время t

s

=

2gh

t

+

1+

m

m

gt^2

2

.

Во втором случае, когда тело сброшено с высоты kh перемещение тела в воде за то же время t

s

=

2kgh

t

+

1+

m

m

gt^2

2

.

По условию задачи s/s=l т.е.

2kgh +

1+

m

m

gt

2

2gh +

1+

m

m

gt

2

=

l

.

(1)

Обозначим для удобства (1-m/m)gt/2 через x. Тело будет тонуть при m/m<1, т.е. при x>0. Запишем уравнение (1), используя введённое обозначение:

2kgh

+

x

=

l(

2gh

+x)

.

(2)

Выясним, при каком условии корень этого уравнения x=2gh(k-l)/(l-1) положителен. Элементарным анализом можно убедиться, что при k>1 значение x положительно при l<k а при k<1 значение x>0 при l>k.

Таким образом, полученный результат можно сформулировать следующим образом. Тело будет тонуть в воде, если при увеличении начальной высоты в k раз глубина погружения за первую секунду увеличится менее чем в k раз. Если же глубина погружения за первую секунду возрастёт более чем в k раз, то тело будет всплывать.