Шрифт:
k
=
e^2
mv
f
,
где m — масса электрона и e — его заряд. Следовательно, зная k, можно найти силу осциллятора для данной линии.
Ниже мы получим теоретические кривые роста в явном виде и сообщим результаты их применения к определению химического состава звёздных атмосфер. Вопросы определения других параметров атмосфер с помощью кривых роста будут кратко рассмотрены в следующем параграфе. Подробнее см. [9] и [10].
2. Кривая роста для модели Шварцшильда — Шустера.
Чтобы получить зависимость эквивалентной ширины линии от числа поглощающих атомов в случае модели Шварцшильда — Шустера, надо подставить в формулу (12.1) выражение (10.19). Сделав это, находим
W
=
kN
1+kN
d
.
(12.7)
Для коэффициента поглощения k мы возьмём выражение (8.18). Так как интеграл (12.7) в общем виде не берётся, то мы рассмотрим три частных случая, соответствующих трём участкам кривой роста.
1. Пусть N мало, так что kN<<1 для всех частот. В этом случае формулу (12.7) можно переписать в виде
W
=
N
k
d
.
(12.8)
Подставляя сюда выражение (8.18), получаем
W
=
v
c
k
N
.
(12.9)
Эта формула справедлива только для очень слабых линий.
2. Пусть N велико, так что kN>>1, но kN<<1 в тех частях линии, где k определяется затуханием излучения. В данном случае для k можно взять выражение (8.24). Подставляя его в формулу (12.7), имеем
W
=
k
N
v
c
+
–
e– u^2du
1+kNe– u^2
.
(12.10)
Приближённое вычисление интеграла даёт
W
=
2
v
c
ln kN
.
(12.11)
Заметим, что формула (12.11) может быть также получена из следующих соображений. Найдём то расстояние от центра линии, на котором r= 1/2 . Согласно формуле (10.19), на этом расстоянии должно быть kN=1 или
k
N
exp
–
c
v
^2
=
1.
(12.12)
Отсюда находим
=
v
c
ln kN
.
(12.13)
Так как приближённо W=2, то мы снова приходим к формуле (12.11).
3. Пусть, наконец, N настолько велико, что неравенство kN>>1 осуществляется даже в тех далёких от центра частях линии, где k определяется затуханием излучения. Очевидно, что в данном случае для вычисления интеграла (12.7) на всем протяжении линии можно пользоваться для k выражением (8.25). Подставляя (8.25) в (12.7), получаем
W
=
a
kN
v
+
–
du
,
c
u^2
+
a
kN
(12.14)
или, после интегрирования,
W
=
^3
/
v
c
akN
.
(12.15)
Суммируя полученные результаты, можем сказать, что эквивалентная ширина линии W растёт с увеличением числа поглощающих атомов сначала как N, затем приблизительно как ln N и, наконец, как N.
При практическом использовании зависимости между W и N обычно её несколько преобразуют. Прежде всего, от эквивалентной ширины в шкале частот W (её мы выше обозначали просто через W) переходят к эквивалентной ширине в шкале длин волн W. Эти величины связаны между собой очевидным соотношением
W
=
W
.
(12.16)
Далее, от числа поглощающих атомов N переходят к величине
X
=
kN
,
(12.17)
представляющей собой приближённо оптическую толщину атмосферы в центре линии (так как k мало отличается от k при a<<1).
Учитывая сказанное, можно переписать полученные выше формулы в следующем виде: при малых X
W
=
v
c
X
,
(12.18)
при больших X