Шрифт:
Самым убедительным и чувствительным методом проверки специфических предсказаний частной теории относительности оказалось использование столкновений сверхбыстрых частиц, энергетического баланса при ядерных превращениях и порождения пар элементарных частиц. Эти вопросы обсуждаются в тексте гл. 2 и в упражнениях к этой главе.
е) Что скажет вам шофёр, если вы станете указывать ему в качестве данных о городах, в которые нужно заехать, их широту и долготу? Всё, что ему нужно узнать, сводится к расстояниям до этих городов. Так же обстоит дело и в пространстве-времени: вполне можно обойтись без координат, указав лишь интервалы между всеми событиями. Эти интервалы никак не зависят от выбора координат, и тем не менее в них содержится вся действительно нужная информация.
ж) Наблюдения связывают нас с физической реальностью; характеризуя их результаты, мы характеризуем и саму «реальность».
37. Эвклидова аналогия — подробный пример
Решение дано в тексте.
38. Преобразование Галилея
Формулы (57) и (58) получаются из формул (37), если в них подставить выражения из строк 4 и 5 правого столбца табл. 8. В ньютоновской механике не делается различия между величинами момента времени для одного и того же события, измеренными разными движущимися относительно друг друга наблюдателями. Иначе говоря, в ньютоновской механике полагают t'=t. Здесь можно перейти к времени, измеренному в секундах, и тогда tсек'=tсек. Ради простоты момент совпадения начал лабораторной системы и системы отсчёта ракеты полагают равным нулю (t=0). В лабораторной системе на оси x положение начала отсчёта ракеты описывается функцией времени vr tceк. Утверждается, что координата x события в системе отсчёта ракеты равна разности соответствующей координаты события и координаты точки начала отсчёта ракеты, взятых в лабораторной системе. Следовательно, имеет место формула
x'
=
x
–
v
r
t
сек
.
Формулы (57) и (59) практически совпадают — разница состоит лишь в выборе единиц измерения времени. Заметим, что
r
t
=
vr
c
t
=
v
r
t
c
=
v
r
t
сек
.
Подставляя это равенство, приведём формулу (57) к виду (59). Однако формулы (58) и (60) нельзя привести к одному и тому же виду одной лишь заменой единиц измерения! Запишите формулу (58) так, чтобы в неё входили vr и tсек. Для этого достаточно разделить обе её стороны на c и учесть, что t/c=tсек :
t
сек
'
=-
vr
c
·
x
c
+
t
сек
=
t
сек
–
x
vr
c^2
.
(58')
Формула (58') отличается от формулы (60) в тексте членом xvr/c^2, которым можно в большинстве случаев пренебречь, так как обычно скорость vr намного меньше, чем скорость света c. Пример. Наибольшая скорость, с которой летал человек, достигается на искусственных спутниках Земли и примерно равна 30 000 км/час или 8000 м/сек. Наибольшее расстояние между космонавтом в спутнике и наблюдателем на Земле имеет место, когда наблюдатель находится на стороне Земли, противоположной положению спутника в этот момент. Тогда расстояние между ними примерно равно диаметру Земли — около 13·10 м. Таким образом, наибольшее значение члена xvr/c^2, достигнутое до сих пор с участием наблюдателей, равно
(13·10
м
)
(8·10^3 м/сек)
(3·10 м/сек)^2
=
10
сек
.
Конечно, такой интервал времени доступен измерению современными средствами, но его едва ли понадобится измерять в ходе анализа экспериментов на спутниках хотя бы уже потому, что космонавт обычно поддерживает связь с наземным наблюдателем на обращённой к нему стороне планеты! 1)
1) После выхода в свет американских изданий книги Тейлора и Уилера и их сборника решений к упражнениям соотечественники авторов уже успели побывать на Луне. Взяв с форзаца книги величину расстояния от Земли до Луны и учтя, что первая космическая скорость на Луне составляет всего около 1700 м/сек, читатель найдёт, что член xvr/c в формуле (58') и в данном случае остаётся меньше 10 сек, когда астронавты кружат по окололунной орбите. Первую космическую скорость для Луны можно получить, приравняв друг другу центростремительную силу лунного притяжения и центробежную силу, действующую при движении по круговой орбите:
v^2
R = G
M
R^2
(здесь уже произведено сокращение на величину массы космического корабля); в качестве R следует положить величину радиуса Луны, R=1740 км=1,74·10 м; масса Луны равна M=7,3·10^2^2 кг. Конечно, наибольшей скорости космический корабль достигает на обратном пути к Земле, при вхождении в её атмосферу, но тогда слишком мала величина x. — Прим. перев.
39. Пределы применимости преобразования Галилея
Найдём из табл. 8 приближённые выражения функций sh и ch с точностью до членов второго порядка:
sh
,
ch
1
+
2
(в первом случае поправка второго порядка просто равна нулю!). Вид формул (37) с точностью до членов второго порядка малости можно получить, имея в виду, что даже в этом приближении rr. Тогда в этом втором приближении будем иметь