Шрифт:
x'
=
x
1
+
r^2
2
–
r
r
,
t'
=-
r
r
+
t
1
+
r^2
2
.
Коэффициенты, входящие в эти уравнения, отличаются от коэффициентов в формулах (57) и (58) менее чем на 1%, если принять
r^2
2
<
10^2
или
r
^2
<
1
50
,
откуда приближённо получим
r
<
1
7
,
что и требовалось получить.
При старте с места гоночный автомобиль развивает ускорение a=v/t=4 м/сек^2. Если поддерживать такое ускорение постоянным, то скорости v=(1/7)·3·10 м/сек можно достигнуть за срок примерно в t=v/a=10 сек, т.е. около 4 месяцев. Даже с ускорением 7g70 м/сек^2 для достижения этой скорости потребовалось бы около недели!
40. Столкновения в теории Ньютона и в теории относительности
В системе отсчёта ракеты частицы после столкновения разлетаются вдоль оси y со скоростями ±r. В упражнении 20 было показано [формула (49)], что x- и y- компоненты скоростей этих частиц в лабораторной системе отсчёта будут равны
x
=
th
r
=
r
,
y
=
y'
ch r
=±
r
ch r
.
Тангенс угла a/2, образованного осью x и любым из этих двух векторов скорости в лабораторной системе отсчёта (см. рис. 53), даётся формулой
tg
2
=
y
x
=
1
ch r
=
1-
r
^2
.
Рис. 147.
Требуется найти величину малого угла /2 (рис. 147), который составляет разность между /4 радиан и /2, откуда получается сам угол как отклонение полного угла , образованного векторами скорости в лабораторной системе отсчёта, от прямого, т.е. от /2=90°. Из формулы 13 в табл. 8 найдём
tg
–
tg
tg
=
tg
–
=
4
2
.
2
4
2
1
+
tg
·
tg
4
2
Воспользовавшись полученным выше выражением для tg /2 и приняв во внимание, что tg /4=1, а также что для малых справедливо приближённое равенство tg /2/2, мы придём к формуле
2
=
1-1-r^2
1+1-r^2
1-(1-r^2/2)
1-(1-r^2/2)
=
r^2/2
2-r^2/2
r^2
4
;
=
r^2
2
,
где выражение 1-r^2 было подвергнуто разложению по правилу бинома Ньютона, в котором мы оставили лишь два первых слагаемых. От нас требовалось выяснить, при каких r угол не превышает 10^2 рад. Очевидно, это условие принимает вид
r
^2
<
1
50
или
r
<
1
7
.
Когда симметричные относительно друг друга скорости сталкивающихся и разлетающихся частиц в системе отсчёта ракеты будут меньше этой величины, угол между векторами скорости разлетающихся частиц в лабораторной системе будет отличаться от прямого менее чем на 10^2 рад. В лабораторной системе отсчёта, где одна из частиц первоначально покоилась, скорость налетающей частицы поэтому должна быть меньше, чем 2 r<2/7.