Шрифт:
41. Примеры предельных переходов к механике Ньютона
Пример
движения
Корректно ли в этом примере
использование механики Ньютона
?
См. в тексте
(стр.
118
)
1/37200
Да, потому что
<1/7
10
Да
1/137
Да
79/137
Нет
4/30
Да, на пределе
10
^2
Да
42. Замедление времени для -мезона — подробный пример
Решение дано в тексте.
43. Замедление времени для -мезона
Если бы замедления времени не происходило, то из условий задачи следовало бы, что на расстоянии 5,4 м от мишени оставалась бы нераспавшейся половина мезонов. В упражнении 10 [см. формулу (44)] было выяснено, что множитель, характеризующий замедление времени, — это ch r. Следовательно, с точки зрения лабораторной системы отсчёта в рассматриваемом опыте -мезоны будут «жить» в течение срока, в 15 раз превышающего их «собственное время жизни»— то, которое наблюдается в системе отсчёта ракеты, где они покоятся. В лаборатории те же мезоны летят с околосветовыми скоростями, и поэтому они смогут пролететь около 15 «характерных расстояний» (см. таблицу в тексте), т.е. приблизительно 80 м, прежде чем их количество в пучке вследствие распада снизится вдвое по сравнению с первоначальным.
44. Аберрация света звёзд
Ориентируем ось x в направлении относительного движения. В покоящейся по отношению к Солнцу лабораторной системе отсчёта свет, приходящий от далёких звёзд B и D, будет иметь компоненты скорости y=±1 и x=0. В системе отсчёта ракеты (Земли) скорость распространения этого света также равна единице, но теперь x-компонента его скорости будет равна -r, т.е. относительной скорости движения двух рассматриваемых систем отсчёта мимо друг друга. Синус угла равняется x-компоненте скорости, разделённой на абсолютную величину скорости:
sin
=
r
1
=
r
.
Этот вывод находится в согласии с результатами, полученными в упражнении 22.
45. Опыт Физо
Закон сложения скоростей (24) даёт
=(
'
+
r
)(
1
+
'
r
)^1
.
При малых r это выражение можно разложить по формуле бинома Ньютона, ограничиваясь лишь членами первой степени по r:
(
1
+
'
r
)^1
1
–
'
r
.
Используя это разложение в предыдущей формуле и вновь отбрасывая в окончательном результате члены, в которых r возводится в степень выше первой, получим требуемый ответ — формулу (62).
46. Черенковское излучение
Формула (63) непосредственно следует из построения на рис. 62. Чтобы испускать черенковское излучение в некоторой среде, частица должна в ней двигаться по крайней мере не медленнее, чем распространяется световой импульс в этой среде. Это видно из формулы (63): косинус угла никак не может быть больше единицы. Поэтому в люсите частица, для того чтобы давать черенковское излучение, должна двигаться по крайней мере со скоростью, равной 2/3 скорости света в пустоте. С другой стороны, угол в данном веществе будет максимален, когда его косинус имеет наименьшее значение, т.е. при наибольшем значении скорости частиц . Ясно, что не может превышать единицу, так что в люсите величина косинуса , равная 2/(3) всегда больше или равна 2/3. Соответствующий этому максимальный угол составляет 0,841 рад, или 48°,2.
47. Искривление лучей света звёзд Солнцем
Путь, равный диаметру Солнца, световой сигнал проходит за время, равное 1,4·10 м, или 4,7 сек; это и есть «эффективное время падения» светового луча, проходящего вплотную к поверхности Солнца. Полная скорость падения равна этому времени, умноженному на ускорение силы тяжести у поверхности Солнца (275 м/сек^2), так что составляет приблизительно 1300 м/сек, или 4,3·10 м пути за 1 м светового времени. Угол отклонения луча, если он малый, можно приблизительно определить как отношение полученной скорости падения к полной скорости света, т.е. к единице. Итак, мы предсказали, что угол, на который отклоняется световой луч, равен 4,3·10 рад. Общая теория относительности предсказывает вдвое больший эффект, что хорошо согласуется с данными наблюдений, приведёнными в конце упражнения.
48. Геометрическое истолкование
Упражнение построено так, что каждый шаг рассуждения мал, и читатель постепенно подводится к решению; поэтому едва ли было бы целесообразно давать здесь более детальный анализ. Но в последней части упражнения [часть к)] полезно отметить, что степень рассинхронизированности часов лабораторной системы отсчёта и часов системы ракеты определяется величиной sh r [см. формулу (46)], которая меняет свой знак при изменении знака относительной скорости (а тем самым и параметра относительной скорости). Напротив, степень замедления времени определяется величиной sh r [см. формулу (44)], не меняющей знака при изменении знака скорости.
49. Парадокс часов. II — подробный пример
Решение дано в тексте.
50. Сокращение или поворот?
а) Свет, который приходит в наш глаз в данный момент, происходит от двух событий, по-разному удалённых от глаза. Поэтому события должны были произойти в разные моменты времени, и это — главное. В данном случае свет должен был выйти из точки E на 1 м времени раньше, чем из точки G, чтобы оба луча одновременно достигли наблюдателя. За этот срок куб, покоящийся в системе отсчёта ракеты, пройдёт относительно наблюдателя путь x, равный произведению на 1 м.