Шрифт:
57. Границы ньютоновской механики
а) Ответ также указан в конце книги!
б) Согласно формуле без номера, находящейся на стр. 155 между формулами (81) и (82), из разложения бинома Ньютона следует разложение по степеням и для релятивистской энергии:
E
=
m
+
m
^2
2
+
3
8
m
+
…,
откуда
T
=
E
–
m
=
m
^2
2
+
3
8
m
+
…
.
Здесь первый член справа — обычное ньютоновское выражение для кинетической энергии. Сравнивая с ним следующий член, найдём, что поправка порядка 10^2 к ньютоновской механике, рассматриваемая в этом упражнении, будет иметь место при
m^2
+
3
m
–
m^2
2
8
2
=
10^2
,
m^2/2
т.е. когда
^2
=
4
3
·
10^2
.
Это и есть граница ньютоновской механики; сравните её с другими «границами», найденными в упражнениях 39 и 40 гл. 1. При такой скорости отношение кинетической энергии к энергии покоя равно
m^2
2
·
m^1
=
^2
2
=
2
3
·
10^2
.
В случае протона его кинетическая энергия, соответствующая границе применимости ньютоновской механики, равна
T
p
=
2
3
·
10^2
m
p
2
3
·
10^2
Бэв
=
2
3
·
10^2·10
эв
=
2
3
·
10
эв
7
Мэв
.
В случае же электрона соответствующая кинетическая энергия равна
T
e
=
2
3
·
10^2
m
e
2
3
10^2·10
эв
3
кэв
.
58. Релятивистская ракета
а) Законы сохранения импульса и энергии выражаются как
–
m
sh
выбр
+
Msh (d)
=
0,
m
ch
выбр
+
Mch (d)
=
M.
Перенесите вторые слагаемые из левых частей обеих формул вправо, разделите соответствующие части получившихся формул друг на друга и учтите соотношения
sh выбр
ch выбр
=
th
выбр
=
выбр
,
sh (d)
d
,
ch (d)
1
.
Вы получите требуемые соотношения.
б) Когда параметр скорости мал, =, так что
v
=
c
выбр
c
ln
M
M
=
v
выбр
ln
M
M
,
что и требовалось показать.
в) Из закона сохранения энергии легко заключить, что m+M=M так как для того, чтобы получить M, нужно сложить m и M, предварительно умноженные на коэффициенты, много большие единицы. Рассматриваемый здесь процесс — это «обращённое неупругое столкновение»: в неупругих столкновениях кинетическая энергия переходит в массу покоя, тогда как здесь, наоборот, масса покоя превращается в кинетическую энергию ракеты и продуктов сгорания топлива.
г) Даже при наибольших допустимых отношениях масс (M/M->) и при самых высоких скоростях выброса (выбр– >1) скорость ракеты будет лишь приближаться к скорости счета, но не сможет её превысить:
=
th
– >
1
при
=
выбр
ln
M
M
– >
.
д) Вернёмся к выражению закона сохранения энергии, данному в ответе к части а). При очень большой скорости выброса величина ch выбр стремится к бесконечности, и чтобы закон сохранения не нарушался при конечных значениях M и M, величина массы выбрасываемых продуктов сгорания m должна становиться очень малой. Предельный случай достигается для света, когда масса покоя ракетного горючего полностью превращается в энергию излучения.