Шрифт:
m
1-^2
+
m
1-^2
=
2m
ch '
.
Разделив её на скорость переноса энергии (массы), найдём sh r. Итак, параметр скорости системы ядро 1 + ядро 2 совпадает с параметром скорости ракеты r относительно лабораторной системы отсчёта, что и требовалось доказать.
60. Второй вывод релятивистского выражения для импульса
а) В системе отсчёта ракеты шар A движется параллельно направлению оси y как до, так и после столкновения (см. рис. 83). Поэтому разности координат в системе ракеты между событиями столкновения шаров и ударом шара A о верхнюю стенку равны
x'
=
0
,
y'
=
y
и
t
.
Из формул (42) следует промежуток времени в лабораторной системе
t
=
x'
sh
r
+
t'
ch
r
=
t'
ch
r
.
Это выражение позволяет определить y-компоненту скорости шара A в лабораторной системе отсчёта через скорость этого шара в системе отсчёта ракеты =y'/t':
(
A
y
)
лаб
=
y
t
=
y'
t' ch r
=
ch r
.
б) Сравнивая рис. 83 и 84, видим, что скорость шара A в системе отсчёта ракеты равна скорости шара B в лабораторной системе отсчёта. Вертикальная компонента скорости шара A в лабораторной системе была найдена в части а) этого упражнения. Горизонтальная же компонента скорости шара A в лабораторной системе — это просто скорость движения этой системы относительно системы отсчёта ракеты, r. Подставляя значения компонент скорости и импульса, данные на рис. 101, в закон пропорциональности, выведенный на основании этого же рисунка (см. текст данного упражнения), получим соотношение
px
2m
=
th r
2/ch r
(равенство этих отношений означает, что векторы импульса и скорости имеют одинаковое направление). Отсюда и следует формула
p
x
=
m
sh
r
.
61. Второй вывод релятивистского выражения для энергии
а) На основании двух частей рис. 102 можно непосредственно записать закон сохранения импульса в ньютоновском пределе. Из верхней киноленты, снятой в лаборатории, следует закон сохранения в лабораторной системе отсчёта. Когда же на основании нижней киноленты рис. 102, снятой из ракеты, записывается закон сохранения импульса в этой системе, то стоящая в обеих частях уравнения скорость относительного движения систем r уничтожается, и остаётся в точности уравнение, уже полученное в лабораторной системе отсчёта. Итак, в системе отсчёта ракеты импульс автоматически сохраняется, если он сохранялся в лабораторной системе; но это верно лишь для столкновений с малыми скоростями.
б) Переходя к релятивистскому анализу, заметим, что в системе отсчёта ракеты (нижняя кинолента на рис. 103) закон сохранения импульса принимает вид
m
sh
(-
r
)
+
m
sh
(-
r
)
=
=
m
sh
(
–
r
)
+
m
sh
(
–
r
)
.
Воспользовавшись формулой (11) из правого столбца табл. 8, преобразуем здесь каждое из четырёх слагаемых так, чтобы получилось соотношение вида (112). У нас появятся две скобки: первая
(
m
sh
+
m
sh
–
m
sh
–
m
sh
)
и вторая
(
m
ch
+
m
ch
–
m
ch
–
m
ch
)
Каждая из них должна самостоятельно обращаться в нуль, что следует из условия задачи. Значит, должны выполняться уравнения (111) и (113). Короче говоря, чтобы импульс сохранялся в системе отсчёта ракеты, недостаточно его сохранения в лабораторной системе отсчёта, как это было в предельном случае малых скоростей (в ньютоновской механике), но необходимо ещё, чтобы в лабораторной системе сохранялась и энергия, что выражается уравнением (113).