Шрифт:
=
'
+
r
.
(25)
Смысл этого параметра будет совершенно иным, чем смысл угла, описывающего поворот. Ни ка какой диаграмме параметр скорости нельзя изобразить в виде обычного угла, и вот по какой простой причине. Расстояния между точками на листе бумаги подчиняются законам эвклидовой геометрии. Напротив, интервалы между событиями в физическом мире определяются лоренцевой геометрией пространства-времени. Но если невозможно запечатлеть движущиеся пули и идущие часы на листе бумаги, то это никоим образом не лишает реальности указанные функционирующие объекты. Так и невозможность изобразить на листе бумаги аддитивность параметра скорости не сможет нас смутить, но скорее заставит взглянуть на действительный мир быстрых частиц и физики высокой энергии с тем, чтобы увидеть там активное проявление закона сложения параметра скорости. Этот закон сложения параметра скорости, ='+r, во всех отношениях столь же реален, как и закон сложения углов поворота.
Скорость равна тангенсу гиперболическому от параметра скорости
Как же связаны между собой скорость и параметр скорости ? Соответствующая формула аналогична формуле, выражающей связь между наклоном и углом наклона (через тангенс угла), и имеет вид
=
th
.
(26)
Обозначение th означает «тангенс гиперболический». Функция гиперболического тангенса, как и гиперболических синуса и косинуса (sh и ch ), причём th =sh /ch , обычны в математическом анализе. Таблицы всех этих трёх функций можно найти в любом хорошем математическом справочнике. Их формальное определение дано в табл. 8. Тем не менее нам нет необходимости обращаться к этой таблице и к справочникам; ведь всё, что нам требуется знать о функции th , можно без труда получить уже из её определения. А определяется она следующими двумя свойствами:
а) Эта функция должна правильно описывать закон сложения скоростей. Тогда из соотношения
=
'+r
1+'r
и требования аддитивности ='+r мы получаем закон сложения
th
=
th('+
r
)
=
th +th r
1+th '•th r
(27)
[см. определение (26)].
б) При малых скоростях параметр должен переходить в обычную характеристику движения — скорость . Это требование означает, что функция th должна становиться сколь угодно близка к при стремлении к нулю. Вспомним, что обычный тангенс обычного угла стремится по величине к этому углу в пределе малых углов, если углы измеряются в радианах. Если измерять углы в градусах, то следует ввести поправочный множитель /180°. Здесь подобным же образом было бы можно измерять параметр скорости и в единицах, аналогичных градусам и минутам, но проще всего те единицы, при которых
th
—
малые
.
Назовём эти единицы «гиперболическими радианами»; они безразмерны.
Как можно найти связь между параметром скорости и скоростью из свойств (а) (аддитивность) и (б) (равенство th = для малых значений параметра скорости)?
Построение таблицы для тангенса гиперболического
Ответ. 1) Начнём со столь малого параметра скорости , что его th может быть приравнен с требуемой степенью точности. Примем, например,
th 0,01
=
0,01
в качестве первого шага для построения таблицы тангенса гиперболического.
2) Следующий шаг состоит в использовании закона сложения (27):
th 0,02
=
th (0,01+0,01)
=
=
th 0,01+th 0,01
1+th 0,01·th 0,01
=
0,01+0,01
1+0,0001
.
(28)
3) На этом этапе следует условиться о том, с какой степенью точности мы будем брать численные значения. Почему бы, например, не принять th 0,02 равным 0,02 точно так же, как мы приняли th 0,01 равным th 0,01? Однако в знаменателе формулы (28) стоит слагаемое 0,0001! Его наличие означает, что число 0,02 отличается от величины th 0,02 приблизительно на 1:10. Условимся же теперь вычислять все значения th с точностью до 1:10. Поэтому нам потребуется учесть поправку 0,0001, стоящую в знаменателе. Но если нам понадобилось учитывать такую поправку при вычислении th 0,02, почему бы не учесть её и в th 0,01? Потому что там она была бы ещё меньше. Иными словами, разница между th 0,01 и 0,01 равна величине, которой можно пренебречь, если условиться брать результаты с точностью лишь до 1:10. С этой точностью мы получим в конце концов
th 0,02
=
0,020000
1,0001
=
0,019998
.
4) Найдём теперь значение th 0,04:
th 0,04
=
th (0,02+0,02)
=
=
th 0,02+th 0,02
1+th 0,02·th 0,02
=
2•0,019998
1+(0,019998)^2
=
=
0,039980
.
Поправка в знаменателе изменяет теперь численную величину результата примерно на 4:10. Тем не менее этот результат верен с точностью около 1:10. Он получен на основании точной формулы (27) в применении к значениям гиперболического тангенса, которые сами были верны с точностью 1:10.
5) Дальнейшие шаги при построении таблицы значений гиперболического тангенса аналогичны предыдущим. Так, зная th 0,04 и th 0,01, мы можем вычислить th 0,05=(th 0,04+0,01). Мы получим далее th 0,1; th 0,2 и th 0,4, а затем th 0,5=(th 0,4+0,1). Аналогично мы вычислим th 1, th 2 и все прочие значения th , которые нам потребуются. Так мы получим результаты, подытоженные на рис. 31.
Рис. 31. Связь между параметром скорости и самой скоростью =th , получаемая непосредственно из закона сложения th(+) =
+
1+•
как это описано в тексте. Например, пусть пуля выпускается со скоростью '=0,75 из ракеты, движущейся со скоростью r=0,75. Требуется найти скорость пули относительно лабораторной системы. Мы знаем, что аддитивны не скорости, а параметры скорости. По графику для точки A находим '=r=0,973. Сложение даёт ='+r=1,946. Для этого значения параметра скорости находим по графику точку B и величину скорости =0,96. Тот же результат получен другим способом в тексте (стр. 68).