Шрифт:
sh r
cs r
=
th
r
(33)
совершенно аналогично соответствующему отношению для тригонометрических функций. Во-вторых, разность квадратов двух гиперболических функций равна
ch^2
r
–
sh^2
r
=
1
1-th^2r
–
th^2r
1-th^2r
=
=
1-th^2r
1-th^2r
=
1.
(34)
Сопоставьте эту формулу с аналогичным соотношением для тригонометрических функций:
cos^2(угол)
+
sin^2(угол)
=
1.
(35)
Сравнение тригонометрических и гиперболических функций1)
1 Авторы здесь и в других местах вместо термина «тригонометрический» говорят «круговой». Действительно, тригонометрические функции, как это видно из дальнейшего обсуждения, тесно связаны с простейшей кривой второго порядка — окружностью, тогда как гиперболические функции связаны со свойствами другой кривой второго порядка, гиперболы. Поэтому между ними много общего. Однако в переводе мы пользуемся более принятым в отечественной литературе термином «тригонометрический».— Прим. перев.
Уравнения (34) и (35) допускают простую геометрическую интерпретацию. Отложим на рис. 32 по вертикальной оси функцию «косинус», а по горизонтальной оси — функцию «синус» (одного и того же аргумента). Уравнение (35) тогда описывает окружность единичного радиуса, и поэтому тригонометрические функции можно называть «круговыми». Напротив, уравнение (34) описывает при аналогичном построении гиперболу (рис. 33), и поэтому мы говорим о «гиперболических функциях». Знак «плюс» в соотношении cos^2+sin^2=1 происходит от того, что для получения квадрата длины вектора нужно сложить его x- и y- компоненты, возведённые в квадрат. Почему же в соотношении ch^2-sh^2=1 фигурирует знак «минус»? Потому, что квадрат пространственно-временного интервала определяется как разность квадратов удалённостей событий во времени и в пространстве.
Рис. 32. Тригонометрические функции: график связи между косинусом и синусом — окружность. Пример: (3/5)^2+(4/5)^2=1
Рис. 33. Гиперболические функции: график связи между гиперболическими косинусом и синусом — гипербола. Пример: (5/3)^2-(4/3)^2=1
Проверка того факта, что преобразование поворота в эвклидовой геометрии оставляет неизменной длину
Разные знаки в соотношениях cos^2+sin^2=1 и ch^2-sh^2=1 связаны с различием между понятиями длины в эвклидовой геометрии и интервала в лоренцевой геометрии. Рассмотрим по очереди более подробно и ту и другую геометрии с этой точки зрения. Удостоверимся вновь в том факте, что в эвклидовой геометрии ковариантное преобразование координат (29), выраженное теперь не через величину наклона, а через тригонометрические функции, обеспечивает выполнение инвариантности длины. Для этого вычислим в штрихованных координатах квадрат длины:
(Длина)
^2
=
(
x)^2
+
(
y)^2
=
=
(
x'
cos
r
+
y'
sin
r
)^2
+
(-
x'
sin
r
+
y'
cos
r
)^2
=
=
(
x')^2
cos^2
r
+
2(
x')(
y')cos
r
sin
r
+
(
y')^2
sin^2
r
+
+
(
x')^2
sin^2
r
–
2(
x')(
y')sin
r
cos
r
+
(
y')^2
cos^2
r
=
=
[(
x')^2
+
(
y')^2]
·
(sin^2
r
+
cos^2
r
)
=
=
(
x')^2
+
(
y')^2
(подчёркнутые члены сокращаются).
Тем самым мы провели инвариантность выражения для длины. Отметим, что соотношение
cos^2
r
+
sin^2
r
=
1
играет важную роль, связывая понятия ковариантности (преобразование координат, сводящееся к изменению ориентаций координатных осей) и инвариантности (неизменность длины при переходах между системами координат).
Проверка того факта, что преобразование Лоренца оставляет неизменным интервал
Ясно, что связь между ковариантностью и инвариантностью в лоренцевой геометрии основывается на соотношении
ch^2
r
–
sh^2
r
=
1.
Это видно из вычисления квадрата интервала (как пространственноподобного, так и временноподобного) в штрихованных координатах:
<