Шрифт:
sin r
cos r
=
sin
r
.
Поэтому формулы преобразования переходят в
x
=
x'
•
cos
r
+
y'
•
sin
r
,
y
=-
x'
•
sin
r
+
y'
•
cos
r
,
(29)
и мы можем заключить, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наипростейший вид, если коэффициенты в ковариантных преобразованиях выразить через «тригонометрические», или «круговые», функции угла поворота.
Упрощение формул преобразования Лоренца путём введения параметра скорости
Обратимся теперь к формулам преобразования Лоренца, записанным через относительную скорость:
x
=
(1-
r
^2)^1
/
^2
x'
+
r
(1-
r
^2)^1
/
^2
t'
,
t
=
r
(1-
r
^2)^1
/
^2
x'
+
(1-
r
^2)^1
/
^2
t'
.
Как станет выглядеть эта пара уравнений, если мы выразим в ней скорость r через «улучшенную» характеристику движения r? Ответ таков. Вспомним, что скорость и параметр скорости связаны между собой соотношением
r
=
th
r
.
Отметим, что коэффициенты в формулах преобразования Лоренца зависят от r и тем самым от r. Эти коэффициенты равны
(1-
r
^2)^1
/
^2
=
(1-th^2
r
)^1
/
^2
(30)
и
r
(1-
r
^2)^1
/
^2
=
th
r
•
(1-th^2
r
)^1
/
^2
.
(31)
Полученные выражения на первый взгляд довольно сложны. Тем не менее они вполне определённы. Мы знаем, как найти величину th r для любого заданного значения r (см. рис. 31 и сопровождающие его рассуждения). Знание величины th r позволяет нам вычислить выражения (30) и (31) с любой желаемой степенью точности для любого наперёд заданного значения параметра скорости. Эти две функции r настолько важны, что каждая из них получила своё собственное название в теории гиперболических функций. Если мы примем стандартные названия для этих функций, то это никоим образом не повлияет на наши возможности определять величины этих функций в любом интересующем нас случае без использования каких-либо руководств или справочников, своими собственными силами. Поэтому мы примем и будем в дальнейшем употреблять следующие стандартные названия:
(1-th^2
r
)^1
/
^2
=
ch
r
=
=
(Косинус гиперболический
r
),
th
r
•
(1-th^2
r
)^1
/
^2
=
sh
r
=
=
(Синус гиперболический
r
),
Это названия, и не более чем названия! Используя их, мы найдём, что формулы преобразования Лоренца принимают вид
x
=
x'
•
ch
r
+
t'
•
sh
r
,
t
=
x'
•
sh
r
+
t'
•
ch
r
.
(32)
Преобразование Лоренца, выраженное через параметр скорости
Отсюда мы заключаем, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наиболее простой вид, когда коэффициенты преобразования выражаются как гиперболические функции параметра относительного движения r систем отсчёта. Более того, будучи выражены с помощью гиперболических синуса и косинуса, формулы преобразования Лоренца ещё больше, чем ранее, напоминают стандартный тригонометрический вид (29) формул преобразования поворота.
Как можно лучше уяснить себе и прочувствовать свойства фигурирующих в преобразовании Лоренца гиперболических функций? Два самых интересных и существенных их свойства вытекают непосредственно из определений (30) и (31). Во-первых, отношение