1) Мы могли бы, конечно, выбрать направление вектора импульса частицы противоположным (антипараллельным) направлению ее движения. Такой выбор соответствовал бы симметрии данной задачи и не приводил бы ни к каким физическим противоречиям, если его распространить на все частицы. В таком случае импульсы отдельных частиц и полный импульс системы обладали бы направлениями, противоположными направлениям соответствующих импульсов, определенных выше. Однако по традиции мы ориентируем вектор импульса частицы в том же направлении, какое имеет ее скорость.

Нахождение зависимости импульса от скорости на основании закона сохранения импульса

Итак, мы знаем уже, как направлен вектор импульса частицы. Вторым этапом исследования будет определение абсолютной величины (модуля) этого вектора. Это можно сделать, потребовав, чтобы полный импульс сохранялся при упругих столкновениях. Вместе со свойством инвариантности интервала в лоренцевой геометрии это требование окажется достаточным для того, чтобы показать, что ньютоновское выражение для импульса

p

=

m

(=m th )

=

m·

Смещение за

единицу времени

должно быть заменено релятивистской формулой

p

=

m sh

=

m

1-^2

=

=

m·

Смещение за

единицу собственного времени

(69)

Если скорость мала (т.е. мал параметр ), точное релятивистское выражение (69) приближённо совпадает с ньютоновским выражением.

При соответствующем выборе системы отсчёта полный импульс до столкновения равен нулю

Рис. 82. Скользящее упругое столкновение, наблюдаемое в системе отсчёта, которая движется таким образом, что оба шара имеют до столкновения одинаковые скорости, но движутся во взаимно противоположных направлениях.

Рассуждения, приведённые в тексте, показывают, что после упругого столкновения оба шара движутся вновь с их первоначальными скоростями, а направления их движения снова взаимно противоположны, если их наблюдать в той же системе отсчёта.

Возьмём в качестве сталкивающихся объектов два одинаковых шара A и B и предположим, что между ними происходит не лобовое (редкое) столкновение, а скользящее (типичное). Всегда можно найти систему отсчёта, движущуюся с такой скоростью, что скорости шаров до столкновения равны и противоположны по направлению (рис. 82). В этой системе отсчёта полный импульс двух одинаковых шаров равен нулю.

Заключение о равенстве нулю полного импульса следует из таких соображений симметрии: допустим, что полный импульс в этой симметричной по скоростям системе отсчёта отличен от нуля. Тогда, как мы сейчас увидим, возникает противоречие. Если другие два шара начинают двигаться в точности так же, как A и B на рис. 82, причём они отличаются лишь тем, что на место шара A помещён шар B, а на место B — A, ситуация не может измениться. Поэтому полный импульс должен остаться тем же самым как по величине, так и по направлению, что и полный импульс системы на рис. 82 (мы не изобразили его там, потому что на самом деле он равен нулю!). Но ведь изображение нового столкновения можно получить, если рассматривать рис. 82, повернув книгу вверх ногами (поворот на 180° в её собственной плоскости). А это приводит к изменению направления полного импульса на обратное. Следовательно, полный вектор импульса не должен изменяться при повороте на 180°! Это противоречие исчезает, лишь если полный вектор импульса по модулю равен нулю. Итак, до столкновения две тождественные частицы обладают равными и противоположно направленными импульсами.

Что же произойдёт после столкновения? Шары должны и тогда двигаться во взаимно противоположных направлениях с равными скоростями. Если бы это было не так, то сумма их импульсов не была бы равна нулю и полный импульс не сохранялся бы при соударении в нарушение принятого требования. Ограничимся (лишь временно) анализом соударений, являющихся упругими по следующему определению. Если просматривать кинофильм, изображающий процесс столкновения, в обратном порядке, то в этом процессе не произойдёт никаких изменений, кроме того, что частица A стала двигаться теперь справа налево, а частица B — слева направо, тогда как раньше всё было наоборот, В этом смысле упругое соударение — это такое соударение, которое обратимо. Если изображённое на рис. 82 соударение является в этом смысле упругим, то каждый шар изменяет лишь направление своего движения, но не абсолютную величину скорости (не считая момента удара), и в результате эффект соударения сводится к простому повороту векторов скорости обеих частиц. В этой системе отсчёта можно выбрать направления осей x и y таким образом, что x-компоненты скоростей обеих частиц не изменятся при столкновении, тогда как их y-компоненты просто изменят знак.

Описание столкновения в трех разных системах отсчета

Рис. 83. То же столкновение, что на рис. 82, но наблюдаемое в системе отсчёта ракеты.

Нас интересует анализ y-компоненты полного импульса и сохранение этой компоненты при таком столкновении. Для этого проще всего рассмотреть столкновение в такой системе отсчета, где шар A движется только в направлении оси y. Это система отсчета ракеты, летящей вправо по отношению к системе, в которой изображен рис. 82, со скоростью, равной x-компоненте скорости шара A. Наблюдаемое в такой системе отсчета столкновение изображено на рис. 83. Имеется также система отсчета, в которой шар B движется только в направлении оси y. Это лабораторная система отсчета, движущаяся влево по отношению к системе, в которой изображен рис. 82, со скоростью, равной x-компоненте скорости шара B. Наблюдаемое в такой системе отсчета столкновение изображено на рис. 84.

Рис. 84. То же столкновение, что на рис. 82, но наблюдаемое в лабораторной системе отсчёта.

Мы стремимся узнать всё, что только можно, об импульсе частицы (скорость которой может быть очень близка к скорости света), исходя из данных ньютоновской физики об импульсе частицы с очень малой скоростью. Для этих целей анализ скользящего соударения подходит идеально. Мы можем подобрать такое столкновение, при котором частица-мишень обладает сколь угодно малой скоростью не только до соударения, но и после него (частица B на рис. 84). Тогда импульс частицы-мишени может быть получен по ньютоновской формуле p=m как до, так и после соударения. Исходя из этого, легко определить изменение импульса медленной частицы (B) в процессе соударения, что позволит нам найти изменение импульса и даже самый импульс быстрой частицы (A). Исходя из симметрии схемы столкновения, очевидно, что приобретённый частицей B импульс вдвое превышает величину её импульса до соударения, так что