Шрифт:
Рис. 98. Исследование движения релятивистской ракеты.
а) Используя обозначения рис. 98, запишите уравнения сохранения импульса и сохранения энергии. Не забудьте учесть начальную энергию покоя M но не считайте, что масса покоя сохраняется — ведь речь идёт о «неупругом столкновении наоборот»! Исключите из этих уравнений m и найдите таким образом приращение d,
d
=
выбр
M-M
M
,
где выбр — скорость выброса относительно первоначальной системы ракеты. Так как M-M=dM — изменение массы ракеты, то
d
=-
выбр
dM
M
,
где M — масса ракеты в любой данный момент времени. Если мы рассмотрим теперь новую систему отсчёта («систему ракеты»), в которой ракета покоится, выброс следующей порции массы со скоростью выбр в этой системе приведёт к дальнейшему изменению параметра скорости на d. Однако, согласно уравнению (25), новое значение параметра скорости ракеты в первоначальной системе отсчёта равно просто сумме всех изменений параметра скорости (сами скорости не аддитивны, но параметры скорости аддитивны). К тому же массы покоя (и изменения массы покоя) инвариантны, одинаковы во всех системах отсчёта. Поэтому окончательное значение параметра скорости в первоначальной системе отсчёта может быть получено путём суммирования (интегрирования) приращений параметра скорости:
0
d
=-
выбр
M
M
dM
M
.
Интеграл справа равен натуральному логарифму, так что
=
выбр
·ln
M
M
(релятивистская ракета),
(108)
Величина параметра
скорости, достигнутая
после сжигания
любой данной
массы горючего
=
Скорость
выброса
продуктов
сгорания
·ln
Начальная
масса покоя
ракеты
Конечная
масса покоя
ракеты
Это и есть уравнение движения релятивистской ракеты.
б) Нерелятивистской называется такая ракета, которая движется со скоростью, много меньшей скорости света. Покажите, что приведённое выше уравнение движения релятивистской ракеты в нерелятивистском пределе принимает вид обычного уравнения движения нерелятивистской ракеты:
v
=
v
выбр
·ln
M
M
(нерелятивистская ракета),
(109)
в) Покажите, исходя из основных законов сохранения, что масса покоя в случае релятивистской ракеты не сохраняется. Куда же она девается? Покажите, что масса покоя (приближённо) сохраняется в предельном случае нерелятивистской ракеты.
г) Покажите, что скорость релятивистской ракеты может приближаться сколь угодно близко к скорости света, но не превосходить её.
д) Рассмотрите частный случай, когда скорость выброса очень велика. Покажите, что при выбр, стремящейся к скорости света (т.е. при очень больших выбр), необходимая для достижения данного значения параметра скорости ракеты выбрасываемая масса покоя стремится к нулю. Из этого следует что использование света для создания тяги ракеты соответствует полному переводу массы покоя топлива в энергию излучения; уравнение движения тогда принимает вид
=
ln
M
M
для ракеты с
фотонными двигателями
(110)
е) Иногда высказывают следующее обобщающее заключение: «Наиболее экономична ракета с фотонной тягой». Покажите, что это утверждение и верно, и ошибочно одновременно. Обсуждение. Найдите «коэффициент полезного действия» для двигателей, тягу которых создают световые вспышки. Насколько экономично продолжать ускорять «шлак» (использованные элементы) вместе с полезным грузом? Существует ли хоть один тип взаимодействия элементарных частиц, при котором вообще не остаётся «шлака» и образуется лишь свет (т.е. гамма-лучи)? См. стр. 162 и упражнение 97.
ж) Чему равно наименьшее отношение масс (отношение начальной массы к конечной, когда горючее исчерпано) для идеальной ракеты, в которой масса полностью превращается в свет, при котором ракета ускоряется из состояния покоя до такой скорости, при которой течение времени замедляется в десять раз? Чему равно это отношение масс в случае наибольшей скорости выброса, достижимой в ракетах с химическими двигателями (около 4000 м/сек)? Замечание. В технической литературе часто говорится об «удельном импульсе» (обозначаемом через I) ракетного горючего; например, I=260 сек для керосина с жидким кислородом и 350 сек для жидкого водорода с жидким кислородом. Умножьте эти величины на 9,8 м/сек^2, чтобы перейти к физическим единицам (скорости выброса в м/сек или к импульсу в кг·м/сек, сообщаемому ракете каждым килограммом отработавшего топлива). Последний способ выражения через импульс в противоположность использованию единиц времени применим и на Луне, где g(1/6)*9,8 м/сек^2, и на Земле, где g=9,8 м/сек^2.