Шрифт:
59*. Парадокс центра масс
Пусть в системе отсчёта ракеты вдоль оси x в состоянии покоя закреплена длинная труба. С двух противоположных концов в неё одновременно и с одинаковой скоростью (с точки зрения системы отсчёта ракеты) выстреливаются два одинаковых пушечных ядра. Эти ядра упруго сталкиваются в середине трубы и разлетаются вновь к её концам. До того как ядра достигают этих концов, их наглухо закрывают, и в дальнейшем ядра всё время движутся взад и вперёд в трубе без трения.
Рис. 99. Пушечные ядра, летящие навстречу друг другу.
а) Опишите движение центра масс этих двух ядер в системе отсчёта ракеты.
б) Одновременно ли производятся в лабораторной системе отсчёта выстрелы, посредством которых ядра вводятся в трубу? Опишите движение центра масс ядер в лабораторной системе отсчёта. При этом удобно воспользоваться диаграммой пространства-времени. Инвариантно ли положение центра масс в теории относительности?
в) Предположим теперь, что в системе отсчёта ракеты труба не закреплена, а лежит на абсолютно гладкой поверхности. Рассмотрите движение центра масс трубы в обеих системах отсчёта. Как движется в каждой из систем отсчёта центр масс системы, включающей трубу плюс оба пушечных ядра?
60*. Второй вывод релятивистского выражения для импульса
а) На рис. 85 в системе отсчёта ракеты между моментами столкновения двух шаров и попадания шара A в верхнюю стенку проходит интервал времени t'. В лабораторной системе отсчёта этот промежуток времени равен t. Пользуясь формулами преобразования Лоренца, найдите связь между этими двумя промежутками времени, t' и t. Найдите связь между значениями y-компоненты скорости шара A в обеих системах (см. упражнение 20). Приняв за скорость шара A в системе отсчёта ракеты, покажите, что y-компонента скорости шара A в лабораторной системе отсчёта Ay,лаб определяется выражением
A
y
,
лаб
=
ch r
.
Рис. 100. Компоненты скорости шаров A и B в лабораторной системе отсчёта до столкновения.
б) Проанализируйте теперь это столкновение в лабораторной системе отсчёта. На основании его симметрии в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты проверьте правильность данных о компонентах скоростей, приведённых на рис. 100. Вспомните, что импульс частицы должен быть направлен вдоль её движения (разд. 11). Поэтому треугольник векторов скорости шара A до и после столкновения подобен треугольнику векторов импульса шара A до и после столкновения (рис. 101). Предположим, что шар B в лабораторной системе отсчёта движется настолько медленно, что его импульс можно определять по ньютоновской формуле m. Потребуем теперь, чтобы изменение импульса шара A в процессе столкновения было равно по величине и противоположно по направлению изменению импульса шара B. Пропорциональность соответственных сторон подобных треугольников даёт равенство:
Горизонтальный
пунктирный отрезок
на диаграмме импульса
Вертикальный
пунктирный отрезок
на диаграмме импульса
=
Горизонтальный
пунктирный отрезок
на диаграмме скорости
Вертикальный
пунктирный отрезок
на диаграмме скорости
.
Рис. 101. Диаграммы скорости и импульса шара A в лабораторной системе отсчёта.
Покажите, что отсюда следует выражение
p
x
=
m sh
r
для x-компоненты импульса быстро движущегося шара A.
в) В пределе малых y-компонент скоростей величина p x становится равной полному импульсу p шара A, а параметр относительной скорости r становится равным параметру шара A. Отсюда следует выражение для релятивистского импульса частицы
p
=
m sh
.
61*. Второй вывод релятивистского выражения для энергии
Рис. 102. Анализ упругого лобового столкновения частиц разных масс в ньютоновской механике. Скорости частиц до и после соударения в лабораторной системе отсчёта (верхний рисунок) и в системе отсчёта ракеты (нижний рисунок), найденные по ньютоновскому закону сложения скоростей.
а) Сохранение ньютоновского импульса. Рассмотрим лобовое упругое соударение частиц различных масс покоя (m и m). Частица 1 отскакивает от частицы 2, потеряв часть своей скорости и передав часть импульса частице 2. Рассмотрите это столкновение с ньютоновских позиций. Основываясь на рис. 102, покажите, что в лабораторной системе отсчёта из ньютоновского закона сохранения импульса следует уравнение
m
+
m
=
m
+
m
,
в котором величина отрицательна в случае указанных на этом рисунке направлений движения. Чёрточки над буквами означают, что соответствующие величины взяты после соударения. Рассмотрим теперь этот же процесс в системе отсчёта ракеты. При малой относительной скорости движения ракеты r скорость каждой частицы в системе отсчёта ракеты находится путём простого вычитания r из скорости этой частицы в лабораторной системе отсчёта. Примените ньютоновский закон сохранения импульса к столкновению с точки зрения системы отсчёта ракеты. Покажите, что если ньютоновский импульс сохраняется в лабораторной системе отсчёта, он будет автоматически сохраняться и в системе отсчёта ракеты, движущейся с малой скоростью относительно лабораторной системы отсчёта.