Рис. 104. Электрон в качестве колеблющегося груза в релятивистском осцилляторе.

Для того чтобы проверить законы теории относительности, некий инженер решил построить осциллятор с очень лёгким колеблющимся грузом, способным очень быстро двигаться взад и вперёд. Самым лёгким из известных грузов с ненулевой массой покоя является электрон. Инженер взял кубический ящик из металла, каждое ребро которого равно 1 м, и слегка его подогрел, чтобы из стенок «испарилось» небольшое число электронов (рис. 104). Поперёк ящика в середине его помещена электрически изолированная от стенок металлическая сетка, к которой от генератора подведено высокое положительное напряжение. Ручку регулятора напряжения можно поворачивать, чтобы менять постоянную разность потенциалов V между стенками ящика и сеткой.

Вакуумный насос выкачивает воздух из ящика, чтобы электроны могли свободно двигаться внутри него, не сталкиваясь с молекулами воздуха. Пусть испарившийся с внутренней части стенки ящика электрон первоначально обладает весьма малой скоростью (примем эту начальную скорость равной нулю). Положительно заряженная сетка притягивает этот электрон; он ускоряется в её направлении, проходит сквозь отверстие в ней, замедляется по мере удаления от неё, так как его тормозит притяжение сетки, на мгновение останавливается и снова летит к сетке. В результате он колеблется взад и вперёд между стенками ящика.

а) Насколько малым может быть сделан период колебаний электрона T (время одного замкнутого колебательного движения туда и обратно между стенками)? Конструировавший эту установку инженер утверждает, что при соответствующем повороте ручки регулятора напряжения можно получить по желанию сколь угодно высокую частоту колебаний =1/T Прав ли он?

б) Когда напряжение достаточно мало, электрон остаётся нерелятивистским, и его движение можно описывать законами ньютоновской механики. Во сколько раз при этом увеличивается частота колебаний электрона при удвоении напряжения на сетке? (Обсуждение. Во сколько раз различается до и после удвоения напряжения ньютоновская кинетическая энергия электрона в соответствующих точках его траектории? Во сколько раз изменяется при этом его скорость?)

в) Как выглядит окончательная формула для частоты как функции напряжения в нерелятивистском случае?

г) Чему равна частота в крайнем улътрарелятивистском случае, когда электрон бо'льшую часть своего времени движется... (конец фразы не будем договаривать!)... ?

д) Начертите на одном и том же графике две зависимости частоты от напряжения на сетке V: 1) нерелятивистскую кривую из пункта (в), проведённую жирно там, где ей можно пользоваться с уверенностью, и пунктиром в других местах; 2) ультрарелятивистское значение из пункта (г). По этому графику количественно определите, при каком напряжении поведение электрона переходит из нерелятивистского в релятивистское. По возможности дайте простое объяснение того, как ваши выводы учитывают порядок величины (т.е. отбрасывают множители типа 2, и т.д.).

65**. Импульс без массы?

Рис. 105. Перенос массы, не сопровождаемый переносом частиц или излучения.

На рис. 105 изображён миниатюрный мотор, установленный на платформе и питаемый от аккумулятора, поставленного на него. С помощью ремённой передачи мотор приводит во вращение колёсико с лопатками, «гребущее» по воде. Устройство с гребным колёсиком смонтировано на той же платформе, что и мотор. Мощность мотора равна dE/dt.

а) Какое количество массы переносится в секунду с одного конца платформы на другой от мотора к гребному колесу?

б) Масса переносится на расстояние x со скоростью, найденной вами в пункте (а). Какой импульс связан с этим переносом массы? Так как этот импульс мал, применимы ньютоновские представления об импульсе.

в) Пусть платформа первоначально покоится и стоит на горизонтальной поверхности стола на колёсах, лишённых трения. Платформа начнёт двигаться! В каком направлении? Что произойдёт с этим движением, когда истощится заряд аккумулятора? Насколько продвинется платформа за это время?

г) Покажите, что наблюдатель на платформе наблюдал бы перенос энергии лишь ремённой передачей; наблюдатель на столе наблюдал бы перенос энергии отчасти ремённой передачей, а отчасти самой платформой; наблюдатель же, движущийся по ремённой передаче в одну сторону, наблюдал бы перенос энергии отчасти ремённой передачей (отрезком ремня, движущимся в сторону, противоположную ему), а отчасти платформой. Очевидно, что не всегда можно сделать заключение, удовлетворяющее всех наблюдателей, о путях, по которым энергия передаётся с одного места на другое, или о скорости, с которой эта энергия переносится!

В. ФОТОНЫ

66. Частицы нулевой массы покоя

На чём основывается вывод важного соотношения E^2-p^2=m^2? Получите из него соотношение между энергией и импульсом, справедливое для случая нулевой массы покоя (фотоны, гравитоны, нейтрино). Что можно заключить из этого соотношения относительно наклона мировой линии такой частицы (а следовательно, о её скорости)? Как зависят ваши результаты от равенства sh и ch друг другу в случае больших , если их рассматривать как предельный случай? Существует ли для частиц с нулевой массой покоя «сопутствующая система отсчёта» («система покоя»)?