Шрифт:
I. Очень малый объект (либо сферически симметричный объект произвольного радиуса) с массой m притягивает объект с массой m (также малый либо сферически симметричный) с силой F=Gmm/r^2. Здесь r — расстояние между центрами этих объектов, а G - ньютоновская гравитационная постоянная:
G
=
6,67·10^1^1
м
^3
/
сек
^2·
кг
=
6,67·10
см
^3
/
сек
^2·
г
.
II. Работа, необходимая для перенесения пробной частицы единичной массы из точки r в точку r+dr против сил гравитационного притяжения, вызываемых наличием закреплённой массы m, равна
Gm
=
dr
r^2
.
Переходя от обычных единиц энергии к единицам размерности массы, запишем эту работу как
dW
=
Gm
c^2
·
dr
r^2
=
m*
·
dr
r^2
(117)
(работа, отнесённая к единице массы пробной частицы).
III. В этой формуле первый сомножитель, m*=Gm/c^2, имеет очевидный смысл — это масса притягивающего центра, выраженная не в килограммах, а в метрах. Например, масса Земли (m=5,983·10^2 кг) равна в единицах длины mЗемля*=4,44·10^3 м тогда как масса Солнца (m=1,987·10^3 кг) равна mСолнце*=1,47·10^3 м.
IV. Пусть пробная частица находится сначала на расстоянии r от притягивающего центра, а затем уносится на бесконечность. Необходимая для этого работа равна
W
=
m*
r
(118)
из расчёта на единицу массы, содержащейся в пробной частице.
а) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, если вы подниметесь на высоту памятника Вашингтону (555 фут, или 170 м)? Пусть
g*
=
GmЗ
c^2
·
1
rЗ^2
=
mЗ*
rЗ^2
есть ускорение силы тяжести на поверхности Земли (радиус rЗ), выраженное в м/м^2.
б) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, когда вы подниметесь за пределы действия гравитационного поля Земли? Допустим, что, кроме Земли, во Вселенной ничего нет. Зависит ли доля энергии, теряемой в пункте (а) или (б), от вашей первоначальной массы?
в) Используйте результат, полученный в пункте (а), для нахождения относительного изменения энергии фотона, поднимающегося вертикально на высоту z в однородном гравитационном поле g*. Масса покоя фотона равна нулю, и формально можно сказать, что фотон обладает кинетической энергией E=T. Поэтому фотон располагает лишь одним источником, а именно своей кинетической энергией, за счёт которого он может компенсировать возрастание потенциальной энергии при подъёме в гравитационном поле. Световая волна с частотой состоит из фотонов энергии E=h/c^2 (см. упражнение 72). Требуется показать, что относительная потеря энергии фотонами, поднимающимися в гравитационном поле, соответствует следующему относительному изменению их частоты:
=-
g*z
(однородное гравитационное поле).
г) Вывод, полученный в пункте (б), используйте для нахождения величины относительной потери энергии фотоном при его удалении на бесконечность. (Применение этого вывода является хорошим приближением с точностью до 1%, если сама величина относительной потери энергии не превышает 2%). Пусть, например, фотон испускается из какой-то точки на поверхности астрономического объекта массы M (кг) или M* (м) и радиуса r. Исходя из величины относительной потери энергии, покажите, что относительное изменение частоты определяется формулой
=-
M*
r
.
(119)
Такое уменьшение частоты называется гравитационным красным смещением, потому что в видимом свете смещение состоит в сдвиге линий к низкочастотному (красному) концу спектра. Найдите величину относительного гравитационного красного смещения для света, испускаемого с поверхности Земли, и для света, испускаемого с поверхности Солнца.
74*. Плотность спутника Сириуса