Достаточно популярный логический прием «сведение к абсурду» (reductio ad absurdum) в математике известен как «доказательство от противного» и состоит из трех частей:

1. Допустим, что утверждение N истинно.

2. Докажем, что это допущение приводит к логическому противоречию, ложному или абсурдному утверждению.

3. Заключаем, что утверждение N ложно.

Обобщение – это суждение о качестве множества объектов. Обобщения делятся на универсальные (все млекопитающие дышат кислородом), частные (некоторые млекопитающие имеют мех) и статистические (более 70 % видов млекопитающих обитает на суше).

Важные уточнения при применении обобщений:

• Частное обобщение верно, даже если только один объект из множества ему соответствует (если хотя бы одно млекопитающее покрыто мехом, суждение «некоторые млекопитающие имеют мех» логически верно).

• Утверждение «некоторые X имеют свойство Y» не означает, что «некоторые X не имеют свойства Y».

• Утверждение «каждый X имеет свойство Y» часто применяется не ко всему классу X в реальности, а лишь к некоторой подразумеваемой группе X (когда лектор говорит «все собрались, приступим», он, очевидно, имеет в виду некую группу слушателей, которых он ожидал увидеть на своем занятии, а не всех людей вообще).

Приписывание общего свойства классу объектов на основании изучения отдельных объектов называется индукцией.

Она бывает полной – когда рассмотрены и проанализированы все объекты в классе, или неполной – когда вывод обо всех объектах делается лишь по некоторым, доступным для изучения. Строго говоря, неполная индукция логически небезупречна: ведь, чтобы судить обо всех объектах, нужно видеть их все.

Поэтому индуктивные доводы оценивают по большой шкале: сила индукции зависит от полноты знаний. Аргумент может становиться более или менее индуктивно сильным при добавлении к нему подробностей, статистических данных, аналогий и объяснений. Но даже слабые индуктивные аргументы очень ценны в науке: они позволяют строить гипотезы, которые уточняются по мере проведения экспериментов и исследований.

Дедукция – процесс выведения свойств объекта из знания о свойствах множества, к которому он принадлежит.

Автор призывает взвешивать силу аргументов, которые используются в дискуссии.

Суммируя сказанное, он приводит четыре качества хорошего аргумента:

1. Доводы, лежащие в его основе, истинны или правдоподобны.

2. Рассуждения индуктивно полны или дедуктивно сильны.

3. Доводы понятны.

4. Все доводы имеют отношение к заключению.

Графическое отражение структуры рассуждений помогает разобраться даже с самыми сложными задачами. Автор предлагает использовать:

1. Простые схемы, где довод и вывод соединяются стрелками.

2. Многоступенчатые схемы с подписанными стрелками.

3. Блок-схемы, в которых аргументы заключены в прямоугольники, а действия (или решения) – в ромбы.

Также полезно отображать в схемах аргументы против – для них рекомендован значок в виде перевернутого трезубца.

Форма «карты аргументов» зависит только от вашего вкуса. Главная мысль может быть расположена в центре, вверху или внизу, а стрелки и линии можно делать разноцветными. При составлении карты аргументов лучше записывать доводы и выводы полными фразами, чтобы сохранить ясность рассуждений.

Карты аргументов:

• Тренируют критическое мышление.

• Позволяют оценить число и вес аргументов за и против.

• Помогают вскрывать штампы и предубеждения, которым подвержены все люди.

Если вы видите, что какой-то аргумент применен только потому, что «так принято», «так всегда делали» или «это же всем известно», подвергните его дополнительному исследованию, снова задав четыре важных вопроса, приведенных в начале этого саммари:

1. Что это значит?

2. Насколько это разумно?

3. Насколько значимо?

4. Что нового и полезного это дает?

При составлении карты аргументов важно придерживаться двух правил:

Правило «кролика из шляпы»: каждый ключевой термин, фигурирующий в заключении аргумента, должен также появляться хотя бы в одном из положений.