Сфера и гиперболическая плоскость — это самые простые искривленные многообразия, кривизна которых одинакова во всех точках и направлениях. Для более сложных случаев хотелось бы придумать способ надежно определять кривизну в любой точке многообразия. Мы уже поняли, что метрика не слишком подходит для этой цели, поскольку зависит от выбранной системы координат и при одной и той же геометрии может быть проще или сложнее. Нужная нам величина (возможно, тензор) должна однозначно показывать кривизну пространства и принимать нулевое значение при ее отсутствии.

При параллельном переносе вектора по двум разным траекториям итоговый вектор не совпадает с исходным. Мы уже видели это на примере сферы, когда переносили вектор с экватора на полюс. Аналогичным образом, если начать движение с полюса, дойти до экватора, переместиться вдоль него, а затем вернуться на полюс, направление вектора также изменится. Это очень важный момент: параллельный перенос по замкнутому контуру, как правило, не позволяет сохранить исходный вектор. По крайней мере в искривленных пространствах.

Мы можем использовать это наблюдение для оценки кривизны: на плоских множествах при параллельном переносе по замкнутому контуру вектор сохраняет направление, на искривленных — отклоняется на какой-то угол.

Однако проблема в том, что замкнутых контуров очень много и описать поведение векторов на них едва ли реально. Поэтому мы должны выбрать какой-то ограниченный набор характерных контуров, которые несложно описать в численном виде.

И здесь нам на помощь придет уже ставший привычным прием: мы будем мыслить бесконечно малыми величинами и применять высшую математику. Такой подход к изучению пространств с произвольной кривизной называется дифференциальной геометрией.

Представим себе два вектора,

и , исходящие из одной точки p. Начиная из этой точки, сместимся на бесконечно малое расстояние в направлении , а затем на бесконечно малое расстояние в направлении . (Технически мы перемещаемся на расстояние, пропорциональное длине этих векторов.) После этого мы вернемся в исходную точку, сначала сместившись в направлении, обратном , а затем в направлении, обратном . Таким образом мы получили бесконечно малый замкнутый контур, который имеет форму параллелограмма [23] .

Чтобы определить такой контур, не требуется много данных: нужны всего два вектора и точка. Чтобы измерить кривизну, возьмем еще один, третий вектор

, который также исходит из начальной точки. В результате параллельного переноса по контуру мы получим новый вектор . На плоском многообразии старый и новый векторы совпадут: , на искривленном же будут немного отличаться друг от друга. Поэтому мы можем найти их разность:

(7.20)

Именно так мы будем определять кривизну в любой точке произвольного многообразия. Построив контур при помощи двух векторов и выполнив параллельный перенос третьего вектора, мы получим итоговый вектор, который покажет нам, как сильно искривлено пространство. На почти плоских множествах он будет очень мал, на сильно искривленных — относительно велик.

Иными словами, мы получили отображение множества из трех векторов

на четвертый вектор, . Мы уже знаем, что такие отображения называются тензорами. В данном случае перед нами тензор кривизны Римана: на его вход поступают два вектора, определяющие контур, и вектор для параллельного переноса, на выходе образуется четвертый вектор, который показывает кривизну на этом контуре.

Можно подумать, что вычислять изменение вектора, циркулирующего по контуру в каждой точке пространства, — громоздкая и сложная задача. Но нам на помощь приходит «магия» тензоров. Представим все вектора в виде их компонентов: Ui, Vi и т. д. Число компонентов i равно размерности исследуемого многообразия.

Тогда мы можем записать тензор кривизны Римана Rijkl (порядок и расположение индексов имеет важное значение). Подобно тому как элементы метрического тензора gij описывают линейный элемент, элементы тензора кривизны Римана говорят о том, как исходные векторы

превращаются в вектор кривизны :

Xi = RijklWjUkVl. (7.21)

В этой формуле мы применили правило Эйнштейна: на самом деле в правой части вычисляется сумма значений, полученных путем перебора индексов j, k и l.

Понятно, что тензор Rijkl состоит из большого количества элементов. У нас четыре индекса, каждый из которых принимает на d– мерном многообразии d значений. Итого d4 элементов: 81 при трех измерениях, 256 при четырех, а дальше еще много больше.