Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
вернуться

Дьяконов Владимир Павлович
Шрифт:
0ēх

> Del(х^2+у^2+z^2);

2xēx + 2уēу + 2zēz

> Nabla(х^2+у^2+z^2);

2xēx + 2уēу + 2zēz

> Del . %;

6

> Laplacian(х^2+у^2+z^2, [x,y,z]);

6

> Laplacian(f(r,theta,z));

> SetCoordinates('cylindrical' [r, theta, z])

cylindricalr, θ, z

> Laplacian(f(r, theta, z));

> SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]);

cartesianx, y, z

> v := VectorField(<x,y,-z>);

v := xēx + уēу– zēz

> ScalarPotential(v);

> v := VectorField(<-y,0,z>);

v := -yēx + zēz

> ScalarPotential(v); den := х^2 + y^2 + z^2;

den := x² + y² + z²

> ScalarPotential((x,y,z) -> <x,y,z>/den);

(x,y,z)→½ ln(x² + y² + z²)

> SetCoordinates('spherical'[r,phi,theta]);

sphericalr, φ, θ

> v := VectorField(<r,0,0>);

v:= r ēг

> ScalarPotential(v);

> restart:with(VectorCalculus): simplify( Torsion(<t,t^2,t^3>)) assuming t::real;

> Torsion(t -> <2*t,sin(t),cos(t)>);

> SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]); v := VectorField(<y,-x,0>);

cartesianx, y, z
v:= уēx– хēу

> VectorPotential(v);

– xzēx– yzēу

> SetCoordinates('cylindrical'[r,theta,z]);

cylindricalr, θ, z

> v := VectorField(<r,0,-2*z>);

v:= rēr– 2zēz

> VectorPotential(v);

(-r sin(θ)² z - r cos(θ)² z) ēθ

> simplify(Curl(%));

rēr – 2zēz

Обратите внимание на то, что для гарантии правильного выполнения этих команд и отсутствия «зависания» компьютера может потребоваться команда restart и перезагрузка пакета VectorCalculus.

4.11.8. Приближение площади сложной поверхности суммами Римана

Одним из важнейших приложений пакета VectorCalculus является вычисление длин дуг и площадей сложных поверхностей на основе применения линейных и поверхностных интегралов. Иногда это встречает большие трудности и требует специальных подходов. Примером может служить поверхность, заданная рис. 4.40. Эта поверхность построена с имитацией ее освещения от внешнего источника света.

Рис. 4.40 Сложная поверхность с эффектами ее освещения внешним источником света

Применим обычную процедуру вычисления площади поверхности. Для этого вычислим для нее матрицу якобиана и удалим из нее столбец с нулевыми элементами (файл vecrim):

> J := Jacobian(f, [х, у, z]);

> J := DeleteColumn(J, [3]);

Тогда площадь поверхности вычисляется следующим образом:

> Int(Int(dA, x=0..2*Pi), y=0..2*Pi);

К сожалению, этот двойной интеграл Maple не вычисляет из-за сложности подынтегрального выражения, график которого представлен на рис. 4.41.

Рис. 4.41. График подынтегрального выражения

Для приближенного вычисления площади можно разбить поверхность на достаточное число сегментов и использовать замену интегралов суммами Римана. Оценка нижней и верхней сумм Римана для четверти поверхности (ее одного квадранта) представлена ниже: