Шрифт:
К главе 16
16.3. При исследовании нужно помнить, что отрицательное число в дробной степени не имеет для нас смысла.
16.4. Решив простейшее тригонометрическое уравнение, получим показательное уравнение, которое нужно исследовать, в зависимости от значений, принимаемых целочисленным аргументом.
16.5. Вспомнить, когда произведение синусов и косинусов может равняться единице.
16.7. Полученное уравнение легко решить, если записать sin^3 x = = sin x (1 - cos^2 x). При решении распадающегося уравнения, которое получится в результате такой замены, нужно постоянно иметь в виду ограничения.
16.8. При решении удобно на время забыть о возникающих ограничениях, а в конце проверить, для каких из найденных значений неизвестного они выполняются.
16.9. Использовать тот факт, что x > 0.
16.10. При исследовании полезно иметь в виду, что cos x <= 1 и дискриминант квадратного уравнения не должен быть отрицательным.
16.11. Удобно отдельно рассмотреть случаи а <= -1, а >= -1, когда данное уравнение имеет неотрицательный дискриминант.
16.12. Вы должны получить систему, состоящую из двух уравнений, трех неравенств и двух ограничений /=.
16.13. Обозначив 4cos^2 x через u (u > 0), найдем, что левая часть, равная 4/u + u, не может стать меньше 4. Чтобы оценить квадратный трехчлен, стоящий в правой части, можно выделить полный квадрат.
16.14.
К главе 17
17.1. Осуществить замену переменных: x– 1 = y, 2x + 1 = z. Найти f(y) и g(z), что равносильно знанию f(x) и g(x).
17.2. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет корни x1 = 0 и x2 = 3. Исследование функции y = x^3 - 6x^2 + 9x– 3 позволит определить число оставшихся корней интересующего нас уравнения.
17.3. Первое уравнение после подстановки примет вид
5 · 2x^2 - 2xy + 1 = (1 + 2k)3y^2 - 1,
k — целое. При каких y в правой части не будет множителя 3?
17.4. Полученное после подстановки квадратное уравнение относительно z имеет дискриминант, равный (3y– 1/y)^2 , что позволяет непосредственно рассмотреть возможные корни.
17.5. Касание функций f(x) и F(x) в точке М0(x0; y0) означает совпадение ординат f(x0) и F(x0), а также угловых коэффициентов касательных при x = x0, т. е. значений f'(x0) и f(x0).
17.6. Будьте внимательны в отношении точек границы множества решений и определите, какие из них принадлежат этому множеству, а какие не принадлежат.
17.7. Прямая y = -x позволит отсечь от части плоскости, координаты точек которой удовлетворяют первому неравенству — фигуру, площадь которой нас интересует.
17.8. Прямые AC и BD пересекаются в точке E(4; 4). Прямая BC параллельна оси абсцисс и пересекает ось ординат в точке G. Через точку D проведем прямую DF, параллельную оси абсцисс и пересекающую ось ординат в точке F, а прямую AC — в точке H. Пусть CK — перпендикуляр, опущенный из точки С на FD. Теперь искомую площадь легко найти через площадь прямоугольника FGCK и прямоугольных треугольников, которые будут изображены на рисунке после всех проведенных выше построений.
17.9. После замены переменных и простых преобразований исходные неравенства примут вид
Проекция множества решений этой системы рассматривается на прямую u = 2. Левую часть первого из неравенств рассмотрите как функцию второго порядка относительно u, где зависящие от v коэффициенты — параметры. Тогда можно сформулировать условия существования решений в зависимости от значений v. (Куда направлены ветви параболы и каков знак дискриминанта.) (!!)