Шрифт:
18.9. Путь отрезок AC вниз по течению пароход проходит за (40 - x/2) ч, а тот же путь вверх по течению — за (48 - x/2) ч. Это позволяет найти скорость течения.
18.10. B качестве неизвестных удобно выбрать скорости пловцов и расстояние AC.
18.11. Если раствор занимал первоначально x– ю часть сосуда, то чистой кислоты в нем было xp/100, а долили (1 - x)q/100 чистой кислоты. Концентрация полученного таким образом раствора равна
p1 = px + (1 - x)q.
Мы получили рекуррентную формулу для рk — концентрации после k циклов. Остается выразить рk через p.
18.12. Чтобы вычислить расстояние между пунктами первой и второй встречи, нужно сначала определить время между этими двумя встречами, т. е. разделить длину отрезка между пунктом первой встречи и пунктом B на сумму скоростей. Полученное выражение нужно умножить на скорость автомобиля. B результате получим уравнение
Два уравнения, в которых используются оставшиеся условия задачи, составить нетрудно. Одно из них будет линейным, а другое — уравнением второй степени.
Решение системы трех уравнений рациональнее начать с решения относительно x/y полученного выше уравнения.
18.13. Стоимость автобусного билета А может быть использована только для того, чтобы определить расстояние до встречи с поездом, которое пассажиру пришлось бы проехать на такси. Эта поездка обошлась бы ему в (А + ax– B) p. и пройденное машиной расстояние составило бы
Условие задачи позволяет составить три уравнения, приравнивая различные выражения для одинаковых отрезков времени: а) время, которое заняла поездка сначала на такси, а затем на автобусе, равно времени, за которое поезд прошел тот же путь за вычетом t; б) если бы пассажир догонял поезд на такси, то догнал бы его на расстоянии x + А — B/a км; в) остается использовать разность времен, которые входят в а) и б), и приравнять ее .
18.14. Условия задачи позволяют составить два уравнения, которые получатся в результате сравнения времени, за которое каждый поезд проходит весь путь без остановки, с временем, за которое поезд проходит этот же путь с остановкой и последующим увеличением скорости. (!!)
Прежде чем решать полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, нужно выразить через введенные неизвестные и ту величину, которая нас интересует.
18.15. Для решения задачи нам понадобятся два уравнения, которые мы получим, приравнивая промежутки времени до первой и второй встреч. Тот факт, что самолет вернулся в А, а вертолет прилетел в B, мы используем после того, как определим их скорости. Это позволит нам вычислить нужные отрезки времени для ответа на вопрос задачи.
18.16. Составить два уравнения относительно x и y нетрудно. Достаточно записать, чему равно время на путь от M до N и на путь от N до M, и вспомнить, что обе эти величины известны.
18.17. Данные в условии ограничения записать в виде системы неравенств и решить эту систему.
18.18. После того как заказчик выяснил, что выгоднее всего заказывать комплекты по 40 деталей, а наименее выгодны комплекты по 70 деталей, он должен позаботиться о том, чтобы общая сумма деталей равнялась 1100. При этом он будет стремиться заказать как можно больше дешевых комплектов и как можно меньше самых дорогих.
К главе 19
19.1. Свести задачу к сравнению (n + 1/n)n и числа 2.
19.2. Нужно использовать условие, в силу которого ар, aq, аr и as образуют геометрическую прогрессию. Это удобнее сделать так: a^2q = араr и т. п. (!!)
Остается выразить p– q, q– r и r– s через ар, aq, аr и as и убедиться, что (p– q)(r– s) = (q– r)^2.
19.3. При составлении разностей а– b, b– с и с– а удобнее пользоваться представлением чисел a, b и с с помощью арифметической прогрессии.