Шрифт:
11.17. Если умножить уравнение на выражение, стоящее в знаменателе, то нужно потребовать, чтобы последнее не обращалось в нуль, т. е. |x^2 + x– 1| /= 1. При потенцировании же появится еще одно ограничение.
11.18. Теперь с помощью тождества, эквивалентного определению логарифма, данное уравнение можно свести к квадратному относительно xlogb a.
11.19. Нужно помнить, что c^2 = |с|, и разобрать несколько случаев, предварительно оценив из условия logа x и а. Для оценки а удобно воспользоваться неравенством t + 1/t >= 2 при t > 0.
11.20. Первое из уравнений, полученных после логарифмирования, разделить на второе и затем произвести потенцирование.
11.21. Нужно заметить, что 243 = 35, 1024 = 210. Теперь из второго уравнения системы с помощью первого нетрудно получить уравнение относительно ( 2/3 )y.
11.22. Для того чтобы найти 4x + у, можно второе уравнение возвести в степень 3/2 и полученное выражение использовать для подстановки в первое уравнение системы.
11.23. Выразить 11xz, 11z и 11(x– 1)z через
11.24. Если в левой части второго уравнения вынести за скобки 2x + 2у, то в скобках останется выражение, аналогичное левой части первого уравнения. Его можно заменить числом 2.
11.25. Здесь удобно не заботиться о равносильности, а каждый раз получать следствия. Алгебраическая система, которая будет получена, легко сводится к уравнению относительно u = у/x. Для этого нужно будет почленно перемножить входящие в нее уравнения.
11.26. При преобразовании выражений, входящих в первое уравнение (после подстановки), нужно будет воспользоваться определением логарифма.
11.27. Так как xy = 3, то либо x, либо у больше единицы. Мы убедились, что x и у положительны. Следовательно,
x + y > 1 и |log2 (x + у)| = log2 (x + у).
Остается рассмотреть два случая в зависимости от знака log2 (x– у).
11.29. Воспользоваться математической записью определения логарифма: аlogab = b.
11.30. Определив x, следует использовать его для упрощения третьего уравнения системы. Если третье уравнение преобразовать в алгебраическое, то посмотрите, что при этом может произойти — потеря или приобретение корней.
K главе 12
12.2. Доказательство следует начать с очевидного тождества
tg [(30° - ) + (60° - )] = ctg 2.
12.3. Воспользоваться тем, что
12.6. Вычислить произведение синусов несколько труднее. Удобнее найти квадрат этого произведения, записав 2 sin2 /7 как 1 - cos 2/7 и т. д.
12.7. Разделить числитель и знаменатель выражения, стоящего в правой части, на Вb.
12.8. Если заменить sin^2 x на k^2 sin^2 у, то sin^2 у можно вынести за скобки.
12.9. Выразить а^2 + b2 через cos – /2 .
12.10. Обозначить sin^2 = а, sin^2 = b, sin^2 = с и преобразовать данное равенство, выполнив сложение.