Придется рассмотреть существование решений первого неравенства при u > 1 для разных случаев относительно коэффициента при u^2 функции f(u), т. е. v^2 - 1 > 0; v^2 - 1 = 0; v^2 - 1 < 0.

17.10. Если а — целое, то дискриминант данного уравнения есть квадрат целого числа, т. е. а^2 - 2а– 19 = n^2. Отсюда (а– 1)^2 - n^2 = 20. Левую часть нужно представить в виде произведения целых чисел.

17.11. Случаи, когда y = 0 нужно рассмотреть отдельно. Определить соответствующие а и для каждого из них решить исходное уравнение. До этого выводов о числе корней исходного уравнения делать не следует.

17.12. Исходное уравнение при y = sin 4x преобразуется к виду

(а + 3)y^2 + (2а– 1)y + (а– 2) = 0,

где |y| <= 1.

Исследуйте отдельно случаи D = 0 и D > 0, для каждого из которых найдите значения а, удовлетворяющие условию, в силу которого равно восемь решений исходного уравнения (см. условие задачи) попадают на отрезок [-, ]. (!!)

При замене переменной z = 4x получаем уравнение

(а + 3) sin^2 z + (2а– 1) sin z + (а - 2) = 0,

или

(а + 3)y2 + (2а– 1)y + (а– 2) = 0,

где y = sin z; |y| <= 1.

Если существует решение второго уравнения y1 (-1, 1), т. е. y1 лежит внутри интервала (-1, 1), то этому y1 соответствуют ровно два значения z (-, ) и ровно восемь значений x (-, ). (Для z период синуса равен 2, а для x = z/4 период синуса уменьшится в 4 раза и будет равен /2, т. е. внутри каждого интервала длиной /2 мы получим два решения для x, а внутри интервала (-, ) таких решений будет восемь.)

17.13. Если (x, y) — фиксированная точка плоскости и через эту точку проходит кривая семейства, то должно существовать, по крайней мере одно соответствующее ей значение параметра а. Рассмотрев уравнение семейства кривых как уравнение относительно а, мы и получим соответствующие ограничения.

18.1. Этих трех уравнений достаточно; чтобы ответить на вопрос задачи, нужно из первого уравнения вычесть поочередно второе и третье.

18.2. Найти минимум P.

18.3. Так как числа 20, 21 и 23 очень близки, то дальше удобно рассуждать, предполагая, что все 500 марок расклеены по 20 на один лист — тогда двух альбомов заведомо не хватит, и по 23 на один лист — тогда в двух альбомах останется не менее одного пустого листа.

18.4. Легко доказать, что x = y. B самом деле, первый и второй понтоны прошли весь путь за равное время, т. е.

откуда

Так как v /= 0 и u /= 0, то x = y.

18.5. При решении уравнений нужно помнить, что x и y — цифры, а потому число их возможных вариаций ограничено.

18.6. Цена второй части бриллианта l(p– x)^2. Остается сравнить цену двух частей с ценой целого бриллианта.

18.7. Удобнее ввести в рассмотрение нормы расхода горючего, отнесенные к часу работы двигателя, так как нормы расхода на километр пути в стоячей воде пришлось бы пересчитывать на нормы для движения против течения.

18.8. Решать систему уравнений нужно методом исключения. При этом последнее уравнение будет содержать два неизвестных, одним из которых должно быть s. Использовать условие y > s и решить это уравнение в натуральных числах.