13.18. Выразить правую и левую части через y = cos x/2.

13.19. Выражение в квадратных скобках представить в виде

(1 + ctg x) + [ 1 + ctg (/4 - x) ]

и воспользоваться формулой суммы котангенсов. B правой части для cos 2 x нужно выбрать выражение, которое позволит избавиться от стоящей в скобках единицы.

13.21. Относительно cos x получится биквадратное уравнение, решения которого придется исследовать.

13.24. Воспользоваться этой формулой еще раз, предварительно выделив выражение 1 + cos 2x, и получить распадающееся уравнение. (!!)

Вспомнить об условиях, при которых произведение двух косинусов равно единице.

13.25. Записывая условие одновременного равенства двух косинусов единице или минус единице, следует брать разные обозначения для целочисленного переменного.

13.26. Если перенести все в правую часть, то мы сможем образовать сумму двух неотрицательных слагаемых.

13.27. Так как cos 3x >= 0, а при дополнении до полного квадрата к обеим частям уравнения прибавляется ± cos x cos 3x, то знак правой части зависит от знака cos x. Это означает, что целесообразно рассмотреть три случая: cos x = 0, cos x > 0, cos x < 0. (!!)

Если cos x > 0, то целесообразно привести левую часть к квадрату разности, а если cos x < 0 — к квадрату суммы.

13.28. Поскольку минимум левой части совпадает с максимумом правой, то единственная возможность их уравнять — решить систему

13.29. При решении окажется полезной следующая идея. Если уравнение преобразуется к виду f(x) g(x) = 0, причем корни f(x) находятся легко и содержат все корни g(x), то решать уравнение g(x) не следует. Поскольку в нашем случае уравнение f(x) g(x) = 0 было получено из системы, то остается выяснить, какие из корней уравнения f(x) = 0 приведут к решению исходной системы.

13.30. Первое уравнение можно привести к виду

При подстановке 2y = /4 – x + k приходится рассматривать случаи k = 2p и k = 2p + 1.

13.31. Относительно и и v получится система уравнений, которую удобно решить заменой v = ut.

13.32. С помощью второго уравнения выразить y через x и подставить в первое уравнение системы.

13.33. При решении системы нам придется оба уравнения возводить в квадрат. Следовательно, в конце необходимо сделать проверку.

13.34. Получив из второго уравнения после подстановки в него найденного значения x выражение для |y|, нужно позаботиться о том, чтобы |y| >= 0.

13.35. Из третьего уравнения x + y = - z. Следовательно, tg z = -tg ( - z) = -tg (x + y). (!!)

По формуле тангенса суммы и с помощью уравнения tg y = 2tg x можно выразить tg z через tg x и подставить в первое уравнение.

13.36. Получить уравнения с одинаковыми левыми частями и сравнить их. При решении квадратного уравнения обратить внимание на исследование.

13.37. Прежде чем возводить уравнения в квадрат, оставим в левой части первого уравнения sin x, а в левой части второго уравнения оставим cos x.

13.38. При решении уравнений возникнут арксинусы и арккосинусы, которые будут накладывать ограничения на а. Следует ли к этим ограничениям добавлять |а| <= 1, |а + 1/2 | <= 1, что вытекает непосредственно из условия?