Шрифт:
24.15. После того как система приведена к виду
Теперь нужно ввести новые переменные. А лучше сразу обратить внимание на то, что эти переменные — синусы и косинусы двух углов. (!!)
Левая часть входящего в систему неравенства не что иное, как выражение для синуса суммы. Поэтому она не больше 1, т. е. последнее условие есть равенство. Не забудьте, что нужно найти min (y + w). Поэтому искать следует в области, где y < 0 и w < 0.
Решения
Глава 1
Геометрические задачи на плоскости
1.1. Треугольник А1BC1 (рис. P.1.1) правильный, так как он подобен данному треугольнику ABC. Точки B, О, О1 и D лежат на одной прямой. Чтобы найти АО1, нужно вычислить O1D. Но O1D = O1D1– DD1. Отрезок O1D1 равен трети отрезка ВD1, как радиус окружности, вписанной в правильный треугольник А1BC1. Таким образом, O1D1 = 2R/3 . Отрезок DD1 мы найдем, если рассмотрим треугольник ABC, как вписанный в окружность с центром О:
DD1 = R/2.
Отсюда O1D = 2R/3– R/2 = R/6 . Так как АD = 1/2 AC = R 3/2, то
Ответ. R 7/3
1.2. B треугольнике AOB (рис. P.1.2) известны: BAO = /2 , AOB = /2 + /2, BO = m· По теореме синусов находим AB = m ctg /2· Теперь можно найти AC и R = ВО1:
AC = 2AD = 2АВ sin (/2– ) = 2АВ cos = 2m ctg /2 cos ,
Ответ.
1.3. Условие задачи может быть геометрически осуществлено в двух случаях (рис. Р.1.3, а), т. е. когда треугольник либо правильный, либо равнобедренный тупоугольный (докажите). Решить эту задачу можно сразу для обоих случаев. На рис. Р.1.3, б изображены треугольник ABC и треугольник А1В1С1, составленные из средних линий первого треугольника. Треугольник А1В1С1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия половина. Следовательно, радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, относятся как один к двум.
1.4. Если сторона а треугольника ABC биссектрисой АА1 разделена на отрезки а1 и а2, то можно записать следующие соотношения (рис Р. 1.4.):
Решая эту систему уравнений относительно a1 и а2, получим
Вычислим аналогично отрезки, на которые разделены стороны b и с треугольника ABC:
Так как отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, между которыми лежит этот общий угол, то
Аналогично находим
Теперь найдем отношение
Ответ.
1.5. Выразим площадь треугольника ABC через радиус r вписанной окружности и углы А, B и С треугольника. Вначале запишем
SABC = SAOB + SBOC + SCOA
(рис. P.1.5).
Так как
SAOB = 1/2 АО · ВО sin OB,