Шрифт:
что и требовалось доказать.
1.23. Проведем CE и AD параллельно BQ, а отрезки AP и CR продолжим до пересечения с ними (рис. P.1.23).
Рассмотрим образовавшиеся в результате подобные треугольники. Так как отрезки AD и OQ параллельны, то
Воспользовавшись двумя парами подобных треугольников: EPC и OBP, ADR и RBO, мы можем записать
Следовательно,
1.24. Треугольник ABC и три треугольника, образовавшихся внутри него (рис. P.1.24), подобны.
Поэтому
Следовательно,
1.25. Обозначим угол AOD (рис. P.1.25) через . Так как углы AOB и BOC равны 120°, то углы BOF и COE равны соответственно 60° - и 60° + . Составим сумму
AD^2 + CE^2 + BF^2 = R^2 sin^2 + R^2 sin^2 (60° + ) + R^2 sin^2 (60° - ).
После понижения степени получим
Тем самым доказано, что эта величина не зависит от положения прямой на плоскости.
1.26. По теореме косинусов
с^2 = а^2 + b^2 - 2ab cos С = 7,
откуда с = 7. По теореме синусов
Угол AOB (рис. P.1.26) центральный, а угол ACB вписанный. У них общая дуга, следовательно, угол AOB равен 120°.
Применим теперь теорему синусов к треугольнику AOB:
Оставшиеся величины RAOC и RBOC можно найти по формуле R = abc/4S.
Площади каждого из этих треугольников проще вычислить, если найти их высоты, опущенные из точки О:
Таким образом, площади треугольников AOC и BOC равны
Ответ.
1.27. По теореме косинусов и в силу равенства а^2 = с(b + с) получим b^2 + с^2 - 2bc cos А = c(b + с), откуда
cos А = b– c/2c.
Данное в условии равенство можно записать так: с^2 = а^2 - bc, и сравнить его с теоремой косинусов для угла С. Получим
cos С = b + c/2a.
Нам нужно доказать, что угол А вдвое больше угла С. Вычислим для этого cos 2С и сравним с cos А:
B выражение для cos А, которое мы получили раньше, сторона а не входит. Поэтому заменим в правой части полученной формулы а^2 на bc + с^2. Получим
т. е. cos А = cos 2С. Так как cos С = b + c/2a > 0, то угол С острый. Углы А и 2С лежат между 0 и , т. е. в интервале монотонности косинуса. Таким образом, из равенства косинусов следует равенство углов А = 2С.