Шрифт:
где OAQ = /2– С. Приравнивая эти два выражения, получим второе уравнение, связывающее углы треугольника:
6 ctg А ctg С = 1. (2)
Остается решить систему из уравнений (1) и (2). Для этого возведем уравнение (1) в квадрат и воспользуемся формулой
9(1 + ctg^2 С) = 8(1 + ctg^2 А). (1')
Из уравнения (2) следует, что
(2')
подставляя значение ctg^2 С в уравнение (1'), после несложных преобразований придем к биквадратному уравнению относительно ctg А:
32 ctg4 А– 4 ctg^2 А– 1 = 0. (3)
Так как треугольник ABC по условию остроугольный, то нас интересуют лишь положительные корни уравнения (3). Легко убедиться, что оно имеет единственный положительный корень ctg А = 1/2 . Подставляя в (2), найдем ctg С = 1/3 . Теперь можно найти площадь данного треугольника:
SABC = 1/2 AP · a,
где АР = 3. Величину а найдем из треугольника BRC:
Ответ. 6 см^2.
1.12. Поскольку B– С = /2, угол B — тупой (рис. P.1.12).
Так как
то соотношение b + с = k можно переписать так:
откуда
h(sin С + cos С) = k sin С cos С.
Возведем последнее уравнение относительно sin 2 С. Корни этого уравнения
Если мы возьмем перед корнем знак минус, то получим sin 2С < 0, чего быть не может, так как угол С острый, следовательно, 0 < 2С < .
Остается
B правой части стоит положительное число. Чтобы можно было найти С, это число не должно превышать единицу, т. е.
Неравенство можно переписать так:
При возведении в квадрат необходимо добавить ограничение k^2 - 2h^2 >= 0. Получим систему
решением которой будет k >= 22 h, так как k и h по условию положительны.
Ответ.
1.13. Способ 1. После того как из точки О опущены перпендикуляры длины x, y и z на стороны а, b и с соответственно (рис. P.1.13, а), можно записать
2S = ax + by + cz.
С одной стороны, АО = y/sin , а с другой стороны
Таким образом,
После простых преобразований получим
(y^2 - z^2) cosec^2 = c^2 - 2cz ctg ,
(x^2 - y^2) cosec^2 = b^2 - 2by ctg ,
(z^2 - x^2) cosec^2 = a^2 - 2ax ctg ,
где последние два уравнения выведены аналогично первому из рассмотренных отрезков CO и BO. Сложив все три уравнения, получим в левой части нуль, а в правой выражение, в которое входит S: