0 = (a^2 + b^2 + c^2) - 2(ax + by + cz) ctg .

Таким образом,

Способ 2. Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей трех треугольников, на которые треугольник ABC разбивается точкой O (рис. P.1.1З, б), то

S = 1/2 sin (an + bl + cm).

Записав теорему косинусов для каждого из треугольников AOB, BOC, COA, получим

2an cos = a^2 + n^2 - m^2,

2bl cos = b^2 + l^2 - n^2,

2cm cos = c^2 + m^2 - l^2.

Сложим три последних равенства:

2 cos (an + bl + cm) = a^2 + b^2 + c^2.

Используя полученное ранее выражение для S, исключим an + bl + cm.

Ответ.

1.14. По условию CD = BC– AC (рис. P.1.14).

Так как

AC = CD/sin A, BC = CD/sin B,

то

CD (1/sin B - 1/sin A) = CD

или

sin А– sin B = sin A sin B.

Последнее уравнение можно переписать так:

4 sin A– B/2 cos A + B/2 = cos (А– B) - cos (А + B).

Так как А– B = , то после замены

cos (А + B) = 2 cos^2 A + B/2 – 1

приходим к уравнению относительно y = cos A + B/2:

y^2 + 2 sin /2 y– cos^2 /2 = 0.

Из его корней

y1, 2 = ±1 - sin /2

годится только первый, т. е.

cos A + B/2 = 1 - sin /2.

Задача имеет решение при 0 < < .

Остается решить систему

Ответ. А = arccos [1 - sin /2] + /2,

B = arccos [1 - sin /2] - /2

С = - А– B.

1.15. Площадь S треугольника ABC (рис. P.1.15) может быть записана с помощью биссектрисы l следующим образом:

S = 1/2 (а + b)l sin С/2.

Теперь приравняем три выражения для 2S:

аhа = bhb = (а + b)l sin С/2.

Исключая а, получим