1.28. Центр О вписанный окружности лежит на пересечении биссектрис (рисунок сделайте самостоятельно). Поэтому

Подставляя в данное соотношение OA^2 = OB · OC, получим

Применив к правой части формулу преобразования произведения синусов в сумму, приведем равенство к виду

Заметив, что B + С = - А, получим

cos B– C/2 = 2 sin^2 А/2 + sin А/2,

что и требовалось доказать.

1.29. По условию S = а^2 - b^2 - с^2 + 2bc. С другой стороны, S = 1/2 с sin А. Сравнивая эти выражения, получим а^2 - b^2 - с^2 + 2bc = 1/2 bc sin А.

Воспользуемся теоремой косинусов и заменим а^2 на b^2 + с^2 - 2bc cos А. После приведения подобных и сокращения на bc останется тригонометрическое уравнение

1/2 sin А = -2 cos А + 2,

которое можно переписать так:

sin А/2 cos А/2 = 4 sin^2 А/2.

Так как А — угол треугольника, то А лежит в первой четверти и sin А/2 /= 0. Наше уравнение принимает вид tg А/2 = 1/4 .

Ответ. А = 2arctg 1/4 .

1.30. Пусть О1, О2, О3 — центры квадратов, построенных на сторонах треугольника ABC (рис. P.1.30). Опустим из них перпендикуляры на стороны. Проведем средние линии DE и KE. На отрезках О2K и KE построим параллелограмм KELO2.

Рассмотрим четырехугольники О1EDO3 и BELO2. При повороте около точки E одного из них на 90° он совпадает с другим (убедитесь в равенстве сторон и углов самостоятельно). Следовательно, отрезки О1О3 и ВО2 равны, что и требовалось доказать.

1.31. Достроим треугольник ABC до параллелограмма так, чтобы сторона AB была диагональю параллелограмма (рис. P.1.31).

Проведем BD1 || AD. Точку пересечения BD1 с диагональю CC1 параллелограмма обозначим через M1. Треугольники MDC и M1BC подобны. Так как MF = CF/4, то MC : MM1 = 3 : 2. Следовательно, MD : M1B = 3 : 5. Так как M1B = AM, то AM : MD = 5 : 3.

Площадь треугольника AFM в восемь раз меньше площади треугольника ABC, т. е. равна 8 . Высота треугольника AFM (F — середина AB), опущенная из вершины F, в два раза меньше высоты треугольника ABD, опущенной из вершины B. Так как AM : AD = 5 : 8, то площадь треугольника AFM относится к площади треугольника ABD как 5 относится к 2 · 8, т. е. как 5 : 16.

Зная, что площадь треугольника AFM равна 1/8 , можно теперь найти и площадь треугольника ABD.

Ответ. 2/5.

1.32. Способ 1. Пусть R — радиус окружности, а , и - вписанные углы, опирающиеся соответственно на стороны AB, BC и AD (рис. P.1.32). Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (это отмечено на рисунке). Углы DBC и DAC тоже равны, и их нетрудно вычислить: DBC = DAC = - ( + + ). По теореме синусов