Все формулы нужно уметь читать не только «слева направо», но и «справа налево». Так, например, в записи sin /4 cos x - cos /4 sin x нужно узнавать sin (/4–  x), а не принимать ошибочно за sin (x - /4), а в записи 

узнавать ctg x/2.

Проверьте себя и напишите, чему равно выражение

 Если вы убеждены в том, что это выражение равно тангенсу половинного угла, обратите внимание на то обстоятельство, что выражение, о котором идет речь, неотрицательно, а тангенс половинного угла — знакопеременная функция. Таким образом,

и не следует писать в этом случае ±tg x. То же самое рассуждение можно провести для любой из приведенных выше формул, где перед корнем стоит ±. Мы ставим ±, чтобы «примирить» выражение, стоящее в левой части, которое может быть отрицательным, с неотрицательным корнем. Поставив ±, мы не получаем двузначную функцию; этот символ говорит лишь о том, что для каждого фиксированного x мы обязаны выбрать определенный знак, в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга оказывается угол, стоящий под знаком функции в левой части формулы.

12.1. Упростите выражение

12.2. Докажите тождество

tg 2 tg (30° - ) + tg 2 tg (60° - ) + tg (60° - ) tg (30° - ) = 1.

12.3. Докажите тождество

12.4. Докажите, что tg ( + ) = 2 tg , если

sin cos ( + ) = sin и + /= /2(2n + 1), /= /2(2n + 1), .

12.5. Вычислите без таблиц

cos /7 cos 2/7 cos 4/7.

12.6. Вычислите без таблиц

tg /7 tg 2/7 tg 3/7.

12.7. Докажите, что если

 и  то при аВ + bA /= 0

12.8. Докажите, что если |sin x| = |k sin у|, где -1 <= k <= 1, то произведение sin (x + у) sin (x - у) неположительно.

12.9. Докажите, что если sin + sin = а, cos + cos = b, то

12.10. Дано

2 tg^2 tg^2 tg^2 + tg^2 tg^2 + tg^2 tg^2 + tg^2 tg^2 = 1.

Вычислите sin^2 + sin^2 + sin^2 .

12.11. Углы , , образуют арифметическую прогрессию с разностью /3 . Вычислите

А = tg tg + tg tg + tg tg .

12.12. Сумма трех положительных чисел , и равна /2. Вычислите произведение ctg ctg , если известно, что ctg , ctg и ctg образуют арифметическую прогрессию.

12.13. Вычислите без калькулятора и без таблиц

sin 106° + cos 106° ctg 8°.

Простейшие тригонометрические уравнения.

sin x = а, x = n + (-1)n arcsin а, |а| <= 1,

cos x = а, x = 2n ± arccos а, |а| <= 1,

tg x = а, x = n + arctg а,

ctg x = а, x = n + arcctg а.

Во всех формулах n — произвольное целое число, т. е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .

Решения уравнения sin x = а часто удобно записывать в виде двух серий корней:

x = 2n + rсsin а, x = (2n + 1) - arcsin а.

Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.