Шрифт:
tg
=
v
v
.
(3)
Для нахождения скорости -частицы и ядра после удара применим к прямоугольному треугольнику на рис. 22.1 теорему Пифагора:
M^2V^2
=
m^2
(v^2+v^2)
.
(4)
Подставляя отсюда V^2 в уравнение закона сохранения энергии (1), получаем
v^2
=
v^2
M-m
M+m
.
(5)
Подставляя это значение v^2 в равенство (4), находим
V^2
=
v^2
2m^2
M(M+m)
.
(6)
Выражение (3) для tg с учётом (5) принимает вид
tg
=
M-m
M+m
1/2
.
(7)
Из формулы (5) или (7) видно, что рассеяние -частицы на 90° при столкновении с неподвижным ядром возможно только в том случае, когда её масса меньше массы ядра: m<M. Условие задачи не может быть выполнено, если -частицы рассеиваются на ядрах водорода, дейтерия, трития или гелия.
Рис. 22.2. Гиперболические траектории -частиц в кулоновском поле ядра
Несмотря на то что рассмотренный процесс мы называем ударом, в действительности -частица может и не приходить в непосредственное соприкосновение с ядром. На налетающую -частицу со стороны ядра действует кулоновская сила отталкивания, так что траектория -частицы представляет собой гиперболу (рис. 22.2). Ближе всего -частица подходит к ядру при центральном ударе, в результате которого она рассеивается назад. Для того чтобы оценить по порядку величины наименьшее расстояние r, на которое -частица может приблизиться к ядру, будем считать, что ядро остаётся неподвижным, и приравняем первоначальную кинетическую энергию -частицы к потенциальной энергии системы в момент остановки -частицы:
mv^2
2
=
1
4
2Ze^2
r
,
(8)
где Ze - заряд ядра. Если скорость налетающей -частицы такова, что вычисленное по формуле (8) значение r окажется больше размера ядра R10– 13 см, то в процессе столкновения с ядром на -частицу действует только кулоновская сила, а короткодействующие ядерные силы не играют никакой роли.
Если в формуле (8) положить r равным радиусу действия ядерных сил R10– 13 см, то можно оценить максимальную скорость (или энергию) -частицы, при которой она ещё упруго рассеивается на ядре, не изменяя его внутреннего состояния. Так, при Z порядка 80 (у золота, использовавшегося в опытах Резерфорда, Z=79) эта скорость составляет примерно 106 м/с. При этом благодаря тому, что силы кулоновского взаимодействия являются потенциальными, механическая энергия системы сохраняется. В результате модель абсолютного упругого удара адекватно описывает рассеяние, хотя удара в механическом смысле не происходит.
Кинетическую энергию, приобретаемую ядром при рассеянии -частицы на прямой угол, используя формулу (6), можно записать в виде
MV
2
=
mv^2
2
2m
M+m
.
(9)
Обратим внимание на то, что передаваемая ядру при столкновении энергия составляет ничтожную часть первоначальной энергии -частицы, если его масса много больше массы -частицы: M>>m. Этот вывод, полученный для частного случая рассеяния на прямой угол, остаётся справедливым и в общем случае рассеяния на любые углы.
При получении соотношения (9) использовались только законы сохранения. Поэтому вывод о том, что лёгкая частица при упругом столкновении с тяжёлой частицей может передать ей лишь незначительную часть своей кинетической энергии, является универсальным и применим, в частности, к упругим столкновениям электронов с ионами и нейтральными атомами в плазме. Это приводит к интересным особенностям в свойствах плазмы.
Рассмотрим, например, такой опыт: в плазму впрыскивается пучок быстрых электронов. После того как электроны пучка испытают хотя бы по одному столкновению с ионами или атомами, направленный характер движения электронов будет полностью утрачен. Произойдёт полная хаотизация распределения электронов по направлению скорости. Но каждый электрон должен испытать очень много столкновений с тяжёлыми частицами, прежде чем произойдёт выравнивание средних значений кинетических энергий лёгких и тяжёлых частиц. В результате в течение довольно большого промежутка времени электроны и ионы в плазме будут находиться как бы при разных температурах. Хотя электроны и ионы находятся в одном и том же Объёме, полностью перемешаны и всё время сталкиваются друг с другом, они ведут себя как две разные, почти изолированные друг от друга термодинамические системы, между которыми почти нет теплообмена!
23. Столкновение шара с клином.
Шар массы m, летевший горизонтально со скоростью v, после абсолютно упругого удара о наклонную поверхность клина отскакивает вертикально вверх (рис. 23.1). Клин массы M. стоит на гладкой горизонтальной поверхности и после удара скользит по этой поверхности. На какую высоту подскочит шар?
Рис. 23.1. Удар шара о наклонную поверхность клина
Высота h подъёма шара над точкой, в которой происходит удар, определяется вертикальной скоростью v приобретаемой шаром в результате удара;
h
=
v^2
2g
.
Поэтому решение задачи сводится к нахождению этой скорости v.
Рассмотрим сначала предельный случай, когда масса клина много больше массы шара: M>>m. Ясно, что массивный клин практически не сдвинется с места при ударе лёгкого шара, т.е. клин можно считать скреплённым с горизонтальной поверхностью. Чтобы шар действительно отскочил вверх, наклонная грань клина в этом случае должна образовывать угол /4 с горизонтом. Так как по условию удар шара о клин абсолютно упругий, скорость шара изменяется только по направлению, оставаясь неизменной по модулю: v=v Следовательно, h=v^2/2g.