18. Изменение орбиты.

В результате трения в верхних слоях атмосферы механическая энергия спутника Земли за много витков уменьшилась на 2%. Орбита спутника при этом как была, так и осталась круговой. Как изменились параметры орбиты: радиус r, скорость v, период обращения T?

В системе отсчёта, связанной с Землёй, механическая энергия спутника E есть сумма его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с Землёй (R - радиус Земли):

E

=

mv^2

2

–

mgR^2

r

.

(1)

Так как орбита спутника круговая, то его скорость постоянна и связана с радиусом орбиты соотношением

v^2

=

gR^2

r

.

(2)

С помощью (2) выражение для энергии спутника (1) можно представить в виде

E(r)

=-

mgR^2

r

+

mgR^2

2r

=-

mgR^2

2r

.

(3)

Рис. 18.1. Зависимость кинетической, потенциальной и полной энергий спутника Земли от радиуса орбиты

Проиллюстрируем соотношение (3) графически. На рис. 18.1 показана зависимость потенциальной, кинетической и полной энергий спутника от радиуса r круговой орбиты. Из рисунка видно, что увеличение механической энергии спутника приводит к увеличению радиуса орбиты. Поскольку при нашем выборе начала отсчёта потенциальной энергии полная энергия спутника всегда отрицательна, относительное изменение энергии E/E положительно при её уменьшении (E<0). Так как по условию полная энергия уменьшилась на 2 %, то E/E положительно и равно 0,02. Соотношение (3) позволяет связать изменение энергии спутника с изменением радиуса орбиты r:

E(r+

r)

=-

1

2

mgR^2

r+r

=

E(r)

+

E

.

(4)

Правую часть этого выражения при r/r<<1 приближённо можно записать так:

–

1

2

mgR^2

r(1+r/r)

–

1

2

mgR^2

r

1-

r

r

=

E(r)

1-

r

r

.

(5)

Сравнивая (4) и (5), получаем

E

+

E

=

E

1-

r

r

т.е.

r

r

=-

E

E

=

– 0,02

.

Радиус орбиты также уменьшился на 2%.

Изменение скорости спутника при изменении орбиты легко выразить через изменение радиуса орбиты с помощью соотношения (2):

(v+

v)^2

=

gR^2

r+r

.

(6)

Поскольку v/v<<1 левую часть этого соотношения приближённо можно записать в виде

v^2

1

+

v

v

^2

v^2

1

+

2

v

v

.

Преобразовав правую часть формулы (6) так же, как и при переходе от (4) к (5), получим

1

+

2

v

v

=

gR^2

r

1

+

v

v

,

откуда, учитывая (2), находим

v

v

=-

r

2r

=

E

2E

=

0,01

.

Скорость спутника увеличилась на 1%. Обратите внимание, что слабое торможение спутника в верхних слоях атмосферы приводит к увеличению его скорости!

Осталось найти изменение периода обращения. Это легко сделать, зная r/r и v/v, поскольку период связан с радиусом орбиты и скоростью спутника соотношением T=2r/v. Записывая значение периода обращения при изменившихся радиусе орбиты и скорости спутника:

T

+

T

=

2

r+r

v+v

,

и преобразуя правую пасть подобно тому, как это делалось выше,

2

r(1+r/r)

v(1+v/v)

T

1

+

r

r

–

v

v

,

находим

T

T

=

r

r

–

v

v

=-

3E

2E

=

– 0,03

.