=

R

E

1/2

f

v^2

E

,

(1)

где f - произвольная функция безразмерной величины v^2/E. Поэтому для нахождения необходимо динамическое рассмотрение. Проще всего такое рассмотрение провести для тела, имеющего форму длинного стержня.

Пусть стержень, движущийся со скоростью v, налетает торцом на неподвижную стенку. При соприкосновении торцевого сечения стержня со стенкой скорости лежащих в этом сечении частиц стержня мгновенно обращаются в нуль. В следующий момент времени останавливаются частицы, расположенные в соседнем сечении, и т.д. Участок стержня, частицы которого к данному моменту уже остановились, находится в деформированном состоянии. Другими словами, в этот момент времени деформированной оказывается та часть стержня, до которой дошла волна упругой деформации, распространяющаяся по стержню от места контакта с преградой. Эта волна деформации распространяется по стержню со скоростью звука u. Если считать, что стержень пришёл в соприкосновение со стенкой в момент времени t=0, то в момент времени t длина сжатой части стержня равна ut Эта часть стержня на рис. 24.2а заштрихована. В незаштрихованной части стержня скорости всех его частиц по-прежнему равны v, а в сжатой (заштрихованной) части стержня все частицы покоятся.

Рис. 24.2. Распространение волны упругой деформации в стержне при ударе о стенку. Фронт волны деформации движется со скоростью звука u

Первый этап процесса столкновения стержня со стенкой закончится в тот момент, когда весь стержень окажется деформированным, а скорости всех его частиц обратятся в нуль (рис. 24.2б). В этот момент кинетическая энергия налетающего стержня целиком превращается в потенциальную энергию упругой деформации. Сразу после этого начинается второй этап столкновения, при котором стержень возвращается в недеформированное состояние. Этот процесс начинается у свободного конца стержня и, распространяясь по стержню со скоростью звука, постепенно приближается к преграде. На рис. 24.2в стержень показан в тот момент, когда незаштрихованная часть уже не деформирована и все её частицы имеют скорость v, направленную влево. Заштрихованный участок по-прежнему деформирован, и скорости всех его частиц равны нулю.

Конец второго этапа столкновения наступит в тот момент, когда весь стержень окажется недеформированным, а все частицы стержня приобретут скорость v, направленную противоположно скорости стержня до удара. В этот момент правый конец стержня отделяется от преграды: недеформированный стержень отскакивает от стенки и движется в противоположную сторону с прежней по модулю скоростью (рис. 24.2г). Энергия упругой деформации стержня при этом целиком переходит обратно в кинетическую энергию.

Из изложенного ясно, что длительность столкновения равна времени прохождения фронта волны упругой деформации по стержню туда и обратно:

=

2l

u

,

(2)

где l - длина стержня.

Определить скорость звука в стержне u можно следующим образом. Рассмотрим стержень в момент времени t (рис. 24.2а), когда волна деформации распространяется влево. Длина деформированной части стержня в этот момент равна ut. По отношению к недеформированному состоянию эта часть укоротилась на величину vt, равную расстоянию, пройдённому к этому моменту ещё недеформированной частью стержня. Поэтому относительная деформация этой части стержня равна v/u. На основании закона Гука

v

u

=

1

E

F

S

,

(3)

где S - площадь поперечного сечения стержня, F - сила, действующая на стержень со стороны стенки, E - модуль Юнга. Поскольку относительная деформация v/u одинакова во все моменты времени, пока стержень находится в контакте с преградой, то, как видно из формулы (3), сила F постоянна. Для нахождения этой силы применим закон сохранения импульса к остановившейся части стержня. До контакта с преградой рассматриваемая часть стержня имела импульс Sut·v, а в момент времени t её импульс равен нулю. Поэтому

Sut·v

=

Ft

.

(4)

Подставляя отсюда силу F в формулу (3), получаем

u

=

E/

.

(5)

Теперь выражение для времени столкновения стержня со стенкой (2) принимает вид

=

2l

/E

.

(6)

Рис. 24.3. Деформация стержня при ударе о стенку

Время столкновения можно найти и иначе, воспользовавшись для этого законом сохранения энергии. Перед столкновением стержень недеформирован и вся его энергия - это кинетическая энергия поступательного движения mv^2/2. Спустя время /2 с начала столкновения скорости всех его частиц, как мы видели, обращаются в нуль, а весь стержень оказывается деформированным (рис. 24.2б). Длина стержня уменьшилась на величину l по сравнению с его недеформированным состоянием (рис. 24.3). В этот момент вся энергия стержня - это энергия его упругой деформации. Эту энергию можно записать в виде k(l)^2/2, где k - коэффициент пропорциональности между силой и деформацией: F=kl. Этот коэффициент с помощью закона Гука выражается через модуль Юнга E и размеры стержня:

k

=

ES

l

.

(7)

Максимальная деформация l равна тому расстоянию, на которое перемещаются частицы левого конца стержня за время /2 (рис. 24.3). Так как эти частицы двигались со скоростью v, то

l

=

v

2

.

Приравниваем кинетическую энергию стержня до удара и потенциальную энергию деформации. Учитывая, что масса стержня m=Sl, и используя соотношения (7) и (8), получаем