Шрифт:
В каждом из колец «законсервированы» электроны с кинетической энергией 500 Мэв. Чему равна в лабораторной системе отсчёта полная величина энергии, которая может реализоваться во взаимодействии? Чему должна была бы быть равна кинетическая энергия электрона, налетающего на покоящийся электрон, из которой для взаимодействия можно было бы получить такую же энергию? (Когда пишутся эти строки, наибольшая энергия, которую может сообщить электрону одиночный ускоритель, равна 6 Бэв). Какой кинетической энергией должны обладать протоны, «консервируемые» в накопительных кольцах, чтобы они дали эквивалент полезной энергии протона 1000 Бэв, налетающего на покоящийся протон? (Когда пишутся эти строки, наибольшая энергия, которую может сообщить протону одиночный ускоритель, равна 35 Бэв). 1)
1) Новейший ускоритель протонов в Серпухове под Москвой даёт протоны с энергией 76 Бэв.- Прим. перев.
Е. АТОМНАЯ ФИЗИКА
101*. Де Бройль и Бор
Покажите, что результаты упражнения 72 приводят к соотношению p=h/c для импульса фотона, выраженного в единицах массы. Рассмотрите следующий интуитивный довод (основанный на удивительном выводе де Бройля 2), который был неполным, но исторически важным, так как привёл к весьма плодотворным исследованиям, а в конце концов — и к окончательному выводу и последующему развитию квантовой механики). Предположим, что длина волны =h/pc может ассоциироваться и с частицей ненулевой массы покоя, например с электроном. Пусть этот электрон движется по круговой орбите вокруг неподвижного ядра. Для того чтобы волна, описывающая электрон, была везде однозначной, необходимо потребовать равенства длины орбиты 2r некоторому целому числу n длин волн , умещающихся на протяжении этой орбиты. Покажите, что отсюда следует соотношение
2) Louis de Broglie, Comptes Rendus (Paris), 177, 507 (1923).
rp
обычн
=
nh
2
=
mh
(
n=1, 2, 3,
)
,
(125)
где pобычн — величина импульса электрона в обычных единицах. Какая величина момента импульса электрона, находящегося на такой орбите, следует из соотношения (125)? В пределе малых скоростей ньютоновская механика говорит, что радиус орбиты даётся соотношением
r
=
(4)n^2h^2
4^2Ze^2m
(126а)
(e в кулонах, 4=1,113·10^1 (кулон·сек)^2/кг·м^3; h, m и p в системе СИ — кг, м, сек), или
r
=
n^2h^2
Ze^2m
(126б)
(e в CGSE; h, m и r в системе CGS — г, см, сек), где Z — атомный номер ядра (число протонов в нем), m — масса и e — заряд электрона. Это формула радиуса орбит атома Бора. Покажите, что скорость электрона на орбите равна (в приближении малых скоростей)
=
Z
n
,
(127)
где
=
e^2
=
1
(4)
h
·
c
137
2
— безразмерная постоянная, называемая постоянной тонкой структуры. [Эта формула верна, когда e выражается в кулонах, 4=1,113·10^1 (кулон·сек)^2/кг·м^3, h и c — в кг, м, сек. Если её выразить в системе г, см, сек, причём e взять в единицах CGSE, то =e^2/hc=1/137). Полученное выражение для использовалось в упражнении 41.
102*. Ви'дение посредством электронов
Из общих принципов физической оптики следует невозможность получить изображение таких деталей объекта, которые меньше длины волны света, с помощью которого получают это изображение. Предположим, что это утверждение верно и в применении к волнам вещества, обсуждавшимся в предыдущем упражнении. Через какую разность потенциалов должны быть пропущены (ускорены) электроны, чтобы с их помощью было можно получить изображение бактерии (размером около 1 мк, т.е. 10 м) в электронном микроскопе? Какой энергией (в Мэв) должны обладать электроны, чтобы с их помощью можно было исследовать структуру протонов и нейтронов (диаметр которых равен около 1 ферми, т.е. 10^1 м)?
103**. Прецессия Томаса
Рис. 126. Ньютоновская механика утверждает, что при обороте электрона вокруг ядра ориентация его спина не изменится.
Представьте себе электрон как отрицательно заряженный шарик, вращающийся вокруг своей оси, подобно гироскопу. Эта грубая классическая модель не соответствует действительности, но приемлема для некоторых целей, например для следующей. Ньютоновская механика предсказывает, что электрон в атоме должен вращаться по некоторой орбите вокруг ядра и сохранять при этом неизменным направление оси своего вращения относительно инерциальных систем отсчёта точно так же, как это происходит с гироскопом, перемещаемым по окружности.
Рис. 127. Теория относительности предсказывает прецессию оси вращения электрона на угол, обозначенный здесь через , за один оборот вокруг ядра.
Однако, как открыл в 1927 г. Л. X. Томас 1), теория относительности удивительным образом утверждает, что если электрон вращается вокруг ядра, вектор его спина направлен по-разному после каждого оборота. Такая прецессия, названная прецессией Томаса, приводит к наблюдаемому эффекту в спектральных линиях излучения некоторых атомов. Объяснение этой прецессии связано с эффектом наклонного метрового стержня (упражнение 52) и основывается на относительности одновременности. Проанализируйте эффект прецессии Томаса для электрона по следующей схеме (или другим способом).