Шрифт:
c^2
.
Умножая энергию, выраженную в единицах массы, на квадрат скорости света, получим Eобычн — энергию, измеренную в обычных единицах (см. разд. 10 гл. 2):
E
обычн
=
h
.
г) Если это последнее соотношение подставить в формулу, описывающую эффект Комптона (упражнение 70), то получится формула (116).
73. Гравитационное красное смещение
а) Работа, затрачиваемая на единицу массы при переходе от r к r+dr, выражается формулой (117) и представляет собой вклад в потенциальную энергию частицы. Вблизи поверхности Земли rrЗемля, и мы получим
dW
m
=
m*
rЗемля^2
dr
=
g*
dr
.
Подставляя g10 м/сек^2 приближённо найдём
g*
=
g
c^2
10 м/сек^2
9·10^1 м^2/сек^2
10^1
м
/
м
^2
,
так что относительное изменение массы покоя частицы при подъёме на 170 м равно
dW
m
1,7·10^1
2·10^1
.
б) Отношение же полной работы к массе даётся формулой (118); если взять в ней в качестве m* массу Земли, равную 4,4·10^3 м, а за исходный радиус принять радиус Земли rЗемля мы получим
W
m
=
m*
rЗемля
4,4·10^3 м
6,7·10 м
7·10^1
.
Отношения, полученные в частях а) и б) этого упражнения, не включают в правой стороне самую массу поднимающейся частицы.
в) Заменяя в формуле, полученной в части a), dr на z, а dW/m — на отношение (изменение энергии)/(полная энергия), получим, учитывая формулу (115), требуемый результат. Знак минус в нем появился ввиду того, что изменение энергии отрицательно (она уменьшается с высотой) 1.
1 В отличие от кинетической энергии, потенциальная энергия пробной массы в гравитационном поле с точки зрения теории Ньютона всегда отрицательна и обращается в нуль на бесконечности, где поле отсутствует; таким образом, энергия возрастает с высотой. Авторы в действительности имеют в виду работу, необходимую для удаления массы из гравитационного поля, равную по абсолютной величине потенциальной энергии этой массы, но обратную ей по знаку. Возрастание потенциальной энергии с высотой отражает тот факт, что гравитация создает силы притяжения, а не отталкивания между массами (по принципу минимума энергии).— Прим. перев.
г) Формула (119) непосредственно следует из ответа на часть б) этого упражнения. Для Земли (M*=4,44·10^3 м, rЗемля6,7·10 м) относительная величина гравитационного красного смещения равна
Земля
– 7·10^1
,
т.е. численно совпадает с ответом на часть б). Для Солнца (M*=1,47·10^3 м, rСолнце7·10 м) относительная величина гравитационного красного смещения равна
Солнце
– 2·10
.
74. Плотность спутника Сириуса
Из формулы (119) следует величина радиуса
r
=
M*
– /
=
1,5·10^3 м
7·10
2·10
м
(менее одной трети радиуса Земли!). Плотность равна
M
=
2·10^3
кг
6·10^1
кг
/
м
^3
=
6·10
г
/
см
^3
4
r^2
4·8·10^1
м
^3
3
— в шестьдесят миллионов раз больше плотности воды!
75. Формулы Допплера
а) В системе отсчёта ракеты
p'
x