Шрифт:
=
x^2+y^2
=
x'^2+y''^2
=
x'^2+y''^2
Инвариантное расстояние соответствует окружности на диаграмме xy
Различные точки, помеченные на разных чертежах как «ворота A», относятся к одним и тем же воротам. Ворота одни, но их координаты на разных планах различны. Что же объединяет между собой эти разные координаты одних и тех же ворот? То, что все они удовлетворяют условию
Разность
координат
x
^2
+
Разность
координат
y
^2
=
=
(Расстояние)
^2
=
Постоянная величина.
Но это — уравнение окружности. Итак, точка, изображённая на окружности x^2+y^2=(постоянная величина) в системе координат любого землемера, будет изображаться также на окружности, описываемой тем же уравнением, в системе координат любого другого землемера.
Это — основное различие между школьной эвклидовой геометрией и реальной лоренцевой геометрией пространства-времени. В эвклидовой геометрии инвариантно расстояние между парами точек, и поэтому для всех землемеров ворота A будут изображаться где-либо на окружности (плоскости xy) с центром в городской площади. В лоренцевой геометрии инвариантен интервал между событиями, и поэтому для всех наблюдателей в лабораториях и ракетах данное событие будет изображаться где-либо на гиперболе (на диаграмме пространства-времени) по отношению к опорному событию.
В эвклидовой геометрии длина (или её квадрат) всегда положительна:
(
x)^2
+
(
y)^2
=
(
x')^2
+
(
y')^2
>=
0.
Напротив, квадрат интервала в лоренцевой геометрии
(
t)^2
–
(
x)^2
=
(
t')^2
–
(
x')^2
может быть положительным, отрицательным или равным нулю в зависимости от того, какая составляющая в нем преобладает — временная или пространственная. Более того, к какому бы из этих типов ни принадлежал интервал в одной системе отсчёта, он останется того же типа и в любой другой системе отсчёта, так как величина интервала одинакова во всех системах. Значит, мы обнаружили, что в природе существует фундаментальный способ классифицировать порядок событий. Мы назовём интервал между двумя событиями временноподобным, светоподобным или пространственноподобным в зависимости от того, положителен, равен нулю или отрицателен его квадрат (см. табл. 7) 1).
1) В отечественной литературе чаще говорят не «светоподобный», а «изотропный», иногда— «нулевой», однако термин «светоподобный» вполне отвечает существу дела, и мы его сохранили в переводе. Довольно употребительный термин «времениподобный», кажущийся на первый взгляд менее двусмысленным, чем «временноподобный», едва ли может быть предпочтён последнему ввиду законов словопостроения русского языка. Отметим, что ряд авторов используют определение квадрата интервала, отличающееся от принятого в этой книге знаком, ввиду чего временноподобный квадрат интервала у них отрицателен, а пространственноподобный — положителен.— Прим. перев.
Таблица 7.
Классификация взаимной упорядоченности пар событий
Характер описания
Величина
квадрата интервала
Наименование
Временна'я часть интервала преобладает по сравнению с пространственной
Положительна
Временноподобный интервал
Временна'я часть интервала равна его пространственной части
Равна нулю
Светоподобный (изотропный) интервал
Пространственная часть интервала преобладает по сравнению с временно'й
Отрицательна
Пространственноподобный интервал
Три типа интервалов между парами событий: временноподобный, светоподобный и пространственноподобный
В зависимости от того, временноподобный он или пространственноподобный, интервал между двумя событиями обозначается по-разному. Временноподобный интервал записывается с помощью греческой буквы «тау» и называется также инвариантным временноподобным расстоянием или собственным временем (иногда — локальным временем) между двумя событиями:
=
(
t)^2-
x)^2
.
(7)
Собственное время и собственное расстояние
Пространственноподобный интервал обозначается с помощью греческой буквы «сигма» и называется инвариантным пространственноподобным расстоянием или собственным расстоянием между двумя событиями:
=
(
x)^2-
t)^2
.
(8)