Шрифт:
Рис. 117. Симметричное упругое столкновение тождественных частиц.
Обсуждение. Чему равна полная энергия системы до столкновения? Какой должна быть поэтому полная энергия каждой из двух частиц после столкновения? Чему должен быть поэтому равен импульс частицы? (См. введение к упражнениям на стр. 179, где сказано о взаимосвязи между импульсом и энергией и о том, почему следует избегать всякого упоминания или использования скорости в задачах, относящихся лишь к импульсу и энергии). Каков был начальный импульс системы? Покажите, что искомый угол определяется выражением
cos^2
2
=
T+2m
T+4m
.
Отсюда с помощью тригонометрического тождества
cos^2
2
=
1
2
(1+cos )
получите выражение
cos
=
T
T+4m
.
(124)
Чему равен полный угол : 1) для ньютоновского упругого столкновения при малой скорости и 2) для ультрарелятивистского столкновения с очень большой величиной T?
91. Давид и Голиаф — подробный пример
Какой минимальной кинетической энергией должен обладать электрон для того, чтобы передать половину своей кинетической энергии первоначально покоившемуся протону при упругом лобовом соударении? Проведите свои вычисления таким образом, чтобы в конце концов прийти к одному-единственному уравнению, решая которое можно (и должно) определить одну безразмерную неизвестную величину Te/mp, где Te — кинетическая энергия налетающего электрона, а mp — масса покоя протона. Определите величину Te,обычн в Мэв, приближённо принимая mp c^21000 Мэв. (Если вы будете решать это уравнение приближённо, дайте оценку погрешности).
Решение. Эта задача сводится к алгебраическим преобразованиям, и главное в ней — избежать ненужных алгебраических преобразований! Столкновение предполагается упругим, так что электрон и протон не уничтожаются в результате его и не возникает никакого излучения. В этом случае закон сохранения энергии сводится к сохранению кинетической энергии. Обозначим через Te кинетическую энергию налетающего электрона. В условии сказано, что после столкновения протон обладает половиной энергии налетающего электрона: Tp=Te/2. Поэтому и электрон уносит также половину своей первоначальной кинетической энергии: Te=Te/2.
Столкновение является лобовым, так что все движения происходят вдоль оси x, а импульсы складываются как скаляры с учётом лишь их знаков. Электрон отскочит от протона, и поэтому его импульс после столкновения будет отрицательным. Из закона сохранения импульса следует
p
e
=
p
p
–
p
e
.
Чтобы связать импульс с энергией, воспользуемся общей формулой
E^2
–
p^2
=
m^2
,
откуда
p^2
=
E^2
–
m^2
=
(T+m)^2
–
m^2
=
=
T^2
+
2mT
+
m^2
–
m^2
=
T^2
+
2mT
,
подчёркнутые члены взаимно уничтожаются, так что
p
=
T^2+2mT
.
Поэтому закон сохранения импульса можно переписать в виде
T
e
^2+2m
e
T
e
=
T
p
^2
+
2m
p
T
p
1/2
–
T
e
^2
+
2m
e
T
e
1/2
.
Подставляя сюда следствие закона сохранения энергии
T
p
=
T
e
=
Te
2
,
получаем
T
e
^2+2m
e
T
e
=
Te^2
4
+
m
p
T
e
1/2
–
Te^2
4
+
m
e
T
e
1/2