Сириус (Альфа созвездия Большого Пса) — самая яркая звезда неба. Сириус и его маленький спутник обращаются один вокруг другого. Анализируя это обращение с помощью ньютоновской механики, астрономы смогли определить, что масса спутника Сириуса приблизительно равна массе нашего Солнца (m2·10^3 кг, m*1,5·10^3 м).

Излучение спутника Сириуса было исследовано спектроскопически. Отождествлённые по своему взаимному расположению спектральные линии некоторого химического элемента оказались сдвинутыми по своей частоте на 7·10 от величины частоты тех же спектральных линий того же элемента в лаборатории. (Эти опытные данные верны с точностью до первой значащей цифры). Интерпретируя это красное смещение как гравитационное (см. формулу в конце упражнения 73), найдите среднюю плотность спутника Сириуса в граммах на кубический сантиметр. Этот тип звёзд носит название белых карликов.

Г. ДОППЛЕРОВСКОЕ СМЕЩЕНИЕ

75. Формулы Допплера

Пусть фотон движется в лабораторной системе отсчёта в плоскости xy в направлении, образующем угол с осью x, так что он обладает компонентами импульса p x=p cos , p y=p sin и p z=0.

а) Используйте формулы преобразования Лоренца для 4-вектора энергии-импульса и соотношение E^2-p^2=0, справедливое для фотона, чтобы показать, что в системе отсчёта ракеты фотон обладает энергией E',

E'

=

E ch

r

·

(1-

r

cos )

,

(120)

и движется в направлении, образующем с осью x' угол ', причём

cos '

=

cos -r

1-r cos

.

(121)

б) Найдите обратные уравнения, выражающие E и cos через E', cos ' и r. Сравните эти обратные уравнения с полученными в упражнении 22 («эффект прожектора»).

в) Если частота света в лабораторной системе отсчёта равна , то чему равна частота этого света ' в системе отсчёта ракеты? Такое различие частот, обусловленное относительным движением, носит название релятивистского эффекта Допплера (упражнение 6). Позволяют ли полученные уравнения определить, в какой системе отсчёта покоится источник фотонов?

76. Распад -мезона; подробный пример

Нейтральный пи-мезон (-мезон), движущийся в лабораторной системе отсчёта в направлении оси x и обладающий кинетической энергией, равной его энергии покоя, распадается на два фотона. В системе отсчёта ракеты, где мезон покоится, эти фотоны разлетаются в положительном и отрицательном направлениях оси y'. Определите энергии фотонов в системе отсчёта ракеты (в единицах энергии покоя мезона) и энергии и направления вылета фотонов в лабораторной системе отсчёта.

Решение. В системе отсчёта ракеты -мезон до своего распада покоился (импульс равен нулю). Он никак не мог распасться на один фотон, не нарушив сохранения импульса. При распаде на два фотона импульс сохранится, если: а) фотоны разлетаются в противоположных направлениях в той системе отсчёта, где мезон до своего распада покоился, и б) импульсы этих фотонов в такой системе равны по абсолютной величине, так что фотоны обладают одинаковыми энергиями (для фотонов E'=p'). Таким образом, в системе отсчёта ракеты задача имеет следующее решение: каждый фотон уносит половину энергии покоя мезона, E'=m/2. Кроме того, эти фотоны по условию должны разлетаться в положительном и отрицательном направлениях оси y' (=±90°, так что cos '=0).

Энергия и направление вылета каждого из фотонов в лабораторной системе отсчёта могут быть найдены по формулам, полученным в упражнении 75:

E

=

E' ch

r

·

(1+

r

cos ')

,

cos

=

cos '+r

1+r cos '

.

Прежде всего необходимо найти величины r, и r. Согласно условию задачи, кинетическая энергия мезона в лабораторной системе отсчёта до его распада была равна массе покоя; тогда

E

m ch

r

T

+

m

=

2m

,

откуда

ch

r

=

1

1-r^2

=

2

,

так что

r

=

3

2

.

Подставьте теперь эти данные и величину E'=m/2 в уравнения преобразования, и вы получите

E

=

m

,

cos

=

r

=

3

2

,

так что =30°. Величину энергии можно было бы найти непосредственно по симметрии распада и по равенству полной энергии мезона до распада 2m. Выводы подытожены на рис. 112. Проверьте, что в лабораторной системе отсчёта импульс сохраняется, как и энергия.

Рис. 112. Решение задачи о распаде -мезона.