83*. Допплеровское уширение спектральных линий

Средняя кинетическая энергия атома газа при температуре T°K (шкала Кельвина) равна ^3/·kT (Константа k называется постоянной Больцмана и равна 1,38·10^2^3 дж/град). Определите относительное изменение частоты, обусловленное допплеровским смещением, которое будет наблюдаться в излучении атомов газа при температуре T. Используйте в качестве приближения для малых скоростей ньютонову механику. Будет ли наблюдаемая частота больше или меньше вследствие эффекта Допплера? Это явление — причина того, почему любая данная спектральная линия газа, возбуждённого электрическим разрядом, состоит из узкой полосы частот вокруг некоторой центральной частоты. Оно называется допплеровским уширением спектральных линий.

84*. Изменение энергии фотона вследствие отдачи излучателя

а) Свободная частица, первоначально покоившаяся и обладавшая массой покоя m, излучает фотон с энергией E. Эта частица (её масса покоя стала равна m) испытывает отдачу, и её параметр скорости становится равен (рис. 113).

Рис. 113. Отдача, испытываемая частицей при испускании фотона.

Сформулируйте законы сохранения таким образом, чтобы в них не фигурировала ни скорость, ни параметр скорости. Рассмотрите тот случай, когда относительное изменение массы покоя в процессе излучения намного меньше единицы. Покажите, что энергия фотона равна E=m-m. Покажите также, что в общем случае

E

=

E

1

–

E

2m

или

E-E

E

=

E

E

=-

E

2m

.

(123)

б) Покажите, что такое изменение энергии в области видимого света (E,обычн 3 эв), излучаемого атомами газа (mc10·10 эв), намного меньше, чем обусловленное эффектом Допплера, вследствие теплового движения атомов (упражнение 83) даже при таких низких температурах, как комнатные (kT1/40 эв).

85*. Эффект Мёссбауэра

а) Свободный атом железа Fe, образовавшийся в так называемом «возбуждённом состоянии» при радиоактивном распаде кобальта Co, при переходе в «нормальное состояние» атома Fe излучает из ядра гамма-квант (фотон высокой энергии) с энергией 14,4 кэв. Чему будет равно относительное изменение энергии гамма-кванта, вызванное эффектом отдачи атома? Масса атома Fe составляет около 57 масс протона.

б) В 1958 г. 29-летний P. Л. Мёссбауэр сделал важное открытие, что не все излучаемые гамма-кванты испытывают такой сдвиг частоты 1). Исходя из квантовой механики, он доказал теоретически, подтвердив свой вывод экспериментальной проверкой, что когда атомы железа включены в твёрдое тело (поскольку атомы железа образовались при радиоактивном распаде атомов кобальта, первоначально включённых в это твёрдое тело), значительная часть этих атомов железа не испытывает отдачи, свойственной свободным атомам в момент излучения. Напротив, они ведут себя так, как если бы их жёстко связали с покоящимся твёрдым телом. Импульс отдачи передаётся при этом всему телу как целому. Но масса тела превышает массу отдельного атома на много порядков (степеней 10), и в этом случае мы имеем явление, названное процессом без отдачи. (Излучение фотонов ядрами атомов, связанных в твёрдом теле, не сопровождающееся эффектом отдачи, напоминает один из фактов, обнаруженных Комптоном, а именно что некоторые из фотонов, рассеянных крепко связанными в атоме электронами, приобретают очень малое изменение энергии, так как атом испытывает отдачу как единое целое; см. упражнение 70). Для гамма-лучей, испускаемых в процессах без отдачи, в упражнении 84 в качестве m следует взять массу всего куска металла, в которой заключены атомы железа. Если эту массу принять равной 1 г, чему будет равен относительный сдвиг частоты гамма-кванта в процессе «без отдачи»?

1) За это открытие немецкий учёный был удостоен Нобелевской премии 1961 г.; подробности см. в статье S. DeBenedetti, The M"ossbauer Effect, Scientific American, 202, 72 (April, 1960).

Рис. 114. Естественная ширина линии для фотона, испущенного ядром Fe.

в) Испущенные возбуждёнными ядрами Fe гамма-лучи не состоят из квантов, несущих в точности одну и ту же энергию; их энергии сосредоточены в узком диапазоне (это же касается и их частот), обусловливающем естественную ширину линии. Практически из тысячи или более фотонов можно выделить несколько классов. Любой данный фотон принадлежит к тому или другому классу в зависимости от того, в каком из многих равных по ширине интервалов лежит его частота. Число фотонов в каждом классе как функция частоты изображается графически и образует колоколообразную кривую (рис. 114). Ширина этой кривой на высоте половины её максимума обозначается через . Для гамма-квантов, излучаемых Fe и обладающих энергией 14,4 кэв, отношение / весьма мало и равно 3·10^1^3. Чему равна естественная ширина линии излучения ядер Fe в герцах? Сравните естественную относительную ширину линии с относительным сдвигом частоты, вызываемым отдачей свободного атома железа. Сравните её также с относительным сдвигом частоты гамма-лучей в процессе без отдачи.

Открытие Мёссбауэром процессов «без отдачи» сделало, таким образом, возможным распоряжаться источниками излучения, частота которых имеет фантастически узкий разброс порядка 3·10^1^3. В одном из следующих упражнений (в 87) говорится о применении для регулируемого изменения относительной эффективной частоты источника излучения, приёмника или обоих вместе на величины порядка 10^1^3, вызванные движением (допплеровское смещение). Какие применения может найти излучение строго определённой частоты? Их множество. Эффект Мёссбауэра является, например, основой важных новых методов в физике твёрдого тела, молекулярной физике и биофизике. Можно обнаружить изменения естественной частоты излучения ядер Fe, обусловленные влиянием других соседних атомов или внешними магнитными полями, и изучить таким образом взаимодействие между атомами железа и окружающим его веществом кристалла (пример: различие частот излучения Fe в железном образце и в кристаллической решётке карбида железа); изучить взаимодействие между атомом железа в молекуле с остальной частью последней (пример: сдвиг частоты Fe для атомов железа, связанных в молекулах гемоглобина).

86**. Резонансное рассеяние

Ядра железа Fe в основном (нормальном) состоянии поглощают гамма-лучи с резонансной энергией 14,4 кэв значительно сильнее, чем гамма-лучи с несколько иными энергиями. Поглощаемая при этом энергия переходит во внутреннюю энергию ядер, переводя Fe в «возбуждённое состояние». По истечении некоторого времени такие возбуждённые ядра вновь излучают гамма-лучи в некотором случайном направлении и вновь возвращаются в основное состояние. Итак, гамма-лучи, поглотившись из первоначального направленного пучка, испускаются вновь во всех направлениях. Поэтому число гамма-квантов, прошедших сквозь тонкую пластинку, содержащую Fe, будет при резонансной энергии 14,4 кэв меньше, чем при любых соседних значениях энергии. Такой процесс называют резонансным рассеянием. Покажите, что при попадании гамма-кванта с резонансной энергией E в первоначально покоившийся свободный атом железа этот гамма-квант не может быть поглощён его ядром, так как тогда не могут выполняться одновременно закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Покажите, что оба закона сохранения выполняются, если атом железа принадлежит кристаллу с массой 1 г и поглощает резонансный гамма-квант в ходе процесса без отдачи, когда импульс падающего гамма-кванта распределяется по всему кристаллу. («Выполняются»? Для импульса — да, для энергии — нет. Однако относительное несоответствие энергий, эквивалентное относительному несоответствию частот, меньше 3·10^1^3, т.е. достаточно мало, чтобы ядро атома железа «не заметило» этого несоответствия и поэтому поглотило падающий гамма-квант).

87**. Измерение допплеровского смещения по резонансному рассеянию

Рис. 115. Резонансное рассеяние фотонов.

В экспериментальной установке, изображённой на рис. 115, источник, содержащий возбуждённые ядра Fe, испускает (наряду с прочими формами излучения) гамма-кванты с энергией E без отдачи. Поглотитель, содержащий ядра Fe в основном состоянии, поглощает часть этих гамма-квантов также в процессе без отдачи, вновь испуская их затем во всех направлениях. Поэтому счётчик гамма-лучей, расположенный, как это изображено на рисунке, зарегистрирует уменьшение потока гамма-квантов в случае поглотителя, содержащего Fe в основном состоянии, по сравнению со случаем поглотителя без таких ядер Fe Пусть теперь источник движется в сторону поглотителя со скоростью . Какой должна быть его скорость, чтобы на поглотитель попадали гамма-лучи с частотой, относительный сдвиг которой равен 3·10^1^3, что соответствует широте резонансной линии? Выразите ответ в см/сек. Увеличится или уменьшится число зарегистрированных счётчиком гамма-квантов при этих условиях? Что произойдёт с этим числом, если источник будет удаляться от поглотителя с той же скоростью? Сделайте примерный чертёж зависимости числа зарегистрированных гамма-квантов от скорости источника. Позволяет ли этот метод измерять абсолютную скорость источника в нарушение принципа относительности?