Шрифт:
q
k
(x)
jk
a
–
ig
t
a
(
(x))q
k
(x).
jk
a
Мы видим, что она преобразуется иначе, чем сами поля. Требование инвариантности лагранжиана по отношению к калибровочным преобразованиям приводит к тому, что все производные от полей должны появляться только в ковариантных комбинациях:
D
q
j
(x)
{
– ig
B
(x)t
a
}
q
k
(x);
jk
a
jk
k
a
(3.2)
здесь D– так называемая (калибровочная) ковариантная производная. Легко доказать ковариантный характер производной D. С использованием матричных обозначений преобразование для ковариантной производной Dq(x) имеет вид
D
q(x)
– >
(x)-ig
t
a
(x)
q(x)
a
–
ig
t
a
(
(x))q(x)
– g
2
B
(x)
t
a
t
b
(x)q(x)
a
a
b
–
ig
B
t
a
q(x)
– ig
2
f
a
(x)B
(x)q(x)
a
abc
b
c
+
ig
(
(x))t
a
q(x).
a
(3.3 a)
Учитывая равенства
tatb = tbta + [ta,tb], [ta,tb] = ifabccc,
правую часть выражения (3.3a) запишем в виде
D
q(x)
- ig
t
a
(x)D
q(x),
a
(3.3 б)
что и доказывает ковариантный характер преобразования производной Dq(x). Аналогично коварианмый ротор поля B имеет вид5)
5 Очевидна аналогия тензора Ga с тензором напряженности электромагнитного поля F=A– A
(D
x
B
)
G
=
B
+g
f
B
B
.
a
a
a
abc
b