+(1-

– 1

)k

k

/(k

2

+i0)

.

ab

ab

(2)

4

k

2

+i0

(4.13 a)

Для вакуумного матричного элемента использовано сокращенное обозначение

fg…h

0

0|fg…h|0,

которое будет неоднократно встречаться и в дальнейшем. Выражение для пропагатора D можно упростить, введя обозначение 1-1/=. В импульсном пространстве выражение для пропагатора глюонного поля имеет вид

D

(k) = i

ab

– g

+k

k

/(k

2

+i0)

 .

ab

k

2

+i0

(4.13 б)

Особенно простой является калибровка Ферми - Фейнмана, которая соответствует значению параметра =0. Иногда оказывается удобной поперечная калибровка, или калибровка Ландау, отвечающая значению =1.

В действительности для случая /=1 выражение (4.13) должно быть подучено несколько иным способом, так как для физических безмассовых глюонов член kk/k2 обращается в бесконечность. Эту трудность можно обойти, приписывая глюонам некоторую фиктивную массу M. Тогда в импульсном пространстве пропагатор описывается выражением

D

(k,M) =

– g

+(1-

– 1

)k

k

/(k

2

–

– 1

M

2

+i0)

 i

ab

,

ab

k

2

– M

2

+i0

из которого в пределе M->0 следует выражение (4.13).

В квантовой электродинамике фотоны не испытывают самодействия, поэтому в рамках этой теории использование ковариантных калибровок не сопряжено с дополнительными трудностями и проводится на описанном выше уровне. Но в случае квантовой хромодинамики самодействие глюонов приводит к дальнейшим усложнениям. Этому вопросу посвящен следующий параграф.

§ 5. Унитарность, лоренцевы калибровки, духи, физические калибровки

1. Ковариантные калибровки

Следует помнить, что присутствие в пространстве состояний, в котором определены поля, нефизических векторов может привести к нарушению соотношения унитарности. Условие (2.7) или (2.8), выражающее унитарность S-матрицы, справедливо только в пространстве физических состояний. Определяя проекторы на физические состояния P соотношениями

P

H

GB

=

L

 ,

P

2

=P

+

=P ,

(5.1)

Условия унитарности (2.7) или (2.8) можно записать во всем пространстве в виде

(PSP)(PSP)

+

= P.

(5.2)

Если лагранжиан эрмитов, то S-матрица унитарна в пространстве GB, поэтому условие (5.2) будет выполнено только в том случае, когда S-матрица коммутирует с оператором P. В описанных в предыдущем параграфе калибровках это соотношение справедливо для квантовой электродинамики и не справедливо для КХД, так как, за исключением случая g = 0, калибровочные преобразования в КХД приводят к самодействию глюонов. Это означает, что лагранжиан

L

=

{i

q

q - m

q

q

q} -

1

(DxB)

2

–

(B)

2

, =1-1/ ,

4

2

 

q

(5.3)

полученный добавлением к выражению (3.5) члена, фиксирующего калибровку, не полон, и его следует изменить.

Для того чтобы понять, какие члены необходимо еще ввести в лагранжиан (5.3), проследим, как нарушается соотношение (5.2) в частном случае калибровки Ферми - Фейнмана. Рассмотрим процесс рассеяния кварка и антикварка во втором порядке теории возмущений.

Фейнмановские диаграммы, дающие вклад в этот процесс, приведены на рис. 1. Вычисление диаграмм рис. 1, 6 и в несложно; трудности возникают лишь при обработке диаграммы рис. 1, а. Вычислим диаграмму рис. 1, а в пространстве размерности D (см. § 7), а затем перейдем к физическому пределу D->4. Соответствующая амплитуда (см. направления импульсов на рис. 1, а) имеет вид6)