Шрифт:
(q) /= 0.
aa'
Конечно, противоречие возникло из-за того, что лагранжиан переводит физические состояния в нефизические. На это впервые обратили внимание Де Витт [94] и Фейнман, решение проблемы для некоторых частных случаев было предложено Фейнманом [118], а для общего случая - Фаддеевым и Поповым [113]. Идея заключается в следующем. Нужно ввести дополнительные нефизические частицы (духи), обращающие в нуль нефизические состояния, порождаемые лагранжианом Lint. Таким образом, мы модифицируем лагранжиан L, добавляя в него члены, отвечающие духам, в результате чего полный лагранжиан Lall принимает вид
L
=L
+
(
(x))(
– gf
B
(x))
(x) ,
all
ab
abc
c
b
(5.8)
где лагранжиан L определен формулой (5.3). Поля и , обладая нулевым спином, подчиняются статистике Ферми — Дирака6a). Эти поля не появляются в начальных или конечных состояниях (по предположению они нефизические), поэтому несоответствие их спина и статистики не должно вызывать беспокойства.
6a Иногда удобно, хотя и не обязательно, считать поля и взаимно сопряженными. Более подробно вопрос о духах обсуждается в § 41, 42.
Рис. 3. Петля духов.
Продолжим рассмотрение свойства унитарности S-матрицы, введя в лагранжиан член, описывающий вклад духов. Так как духи взаимодействуют лишь с глюонами, они изменяют только диаграмму рис. 1, а, которая приводила к нарушению унитарности. Выражение для тензора приобретает возникающую за счет духов добавку, для которой после простых вычислений (рис. 3) получаем следующий результат:
(Ghost)aa'
=
aa'
C
A
ig
2
d
D
k
·
k
(k+q)
(2)
D
k
2
(k+q)
2
=
aa'
g
2
C
A
{[
1
N
+
1
–
1
dx·x(1-x)log(-x(1-x)q
2
)
]
q
2
g
32
2
6
6
0
–
[
–
1
N
+2
1
dx·x(1-x)log(-x(1-x)q
2
)
]
q
q
}
.
3
0
Суммируя вклады глюонов и духов и используя формулы интегрирования, приведенные в приложении Б, находим для поляризационного оператора окончательное выражение
=
aa'
g
2
C
A
(-g
q
2
+q
q
)
{
–
10
N
–
62
+
10
log(q
2
)
}
,
(all)aa'
32
2
3
9
3
(5.9)
которое, очевидно, удовлетворяет условию поперечности
q
=
q
= 0.
(all)aa'