q

D

L

,

ab

q

2

(6.9)

то для продольной части имеем

D

L

= -

1

·

i

q

2

– i0

(6.10)

Разложим пропагатор D в ряд по степеням константы взаимодействия g2:

D

ab

 

n=0

g^2

4

^2

D

(n)

ab

.

Примем во внимание соотношение

D

(2)

=

D

(0)'

(2)

D

(0)'

ab

aa'

a'b'''

b'b

(поляризационный оператор (2) взят во втором порядке теории возмущений). Из двух последних соотношений получаем следующий результат:

q

(2)

=0.

ab

Справедливость этого равенства как раз и проверялась в уравнениях (5.9) и (5.10).

Необходимо отметить, что все проведенные выше выкладки выполнены чисто формальным образом. Так, например, в процессе вычислений мы намеренно закрывали глаза на то, что пропагаторы представляют собой сингулярные функции. Чтобы корректно установить равенства между величинами, необходимо проверить, что к ним можно применять процедуру перенормировок (см. § 7 — 9). В самом деле, некоторые формальные равенства при этом нарушаются; пример такого нарушения приведен в § 33. Однако даже сохраняющиеся при процедуре перенормировок равенства иногда приходится интерпретировать по-новому. Это относится, например, к уравнению (6.10), так как фигурирующий в нем калибровочный параметр заменяется на перенормированный, в результате чего смысл его несколько изменяется.

§ 7. Размерная регуляризация

Как мы видели в примере, приведенном в § 5, некоторые из амплитуд рассеяния оказываются расходящимися. Это происходит из-за сингулярного характера полевых операторов. Легко найти, что расходимость интеграла по dk в (5-46) при больших импульсах k обусловлена тем, что в координатном пространстве в него входят произведения полевых операторов, взятых в одной пространственно-временной точке. Поэтому, чтобы обсуждать квантовую хромодинамику (или любую другую локальную релятивистскую теорию поля), необходимо появляющимся при вычислении фейнмановских диаграмм интегралам придать математически строгий смысл. Эта процедура носит название регуляризации и сводится к замене лагранжиана L регуляризованным лагранжианом L, приводящим при вычислении фейнмановских диаграмм к конечным ответам и в пределе ->0 переходящим в некотором смысле в исходный лагранжиан L, т.е. L– >L. Из классических работ Бора и Розенфельда [46, 47] известно, что полевые операторы по своей природе сингулярны, и, следовательно, любая процедура регуляризации с неизбежностью нарушает некоторые физические особенности теории. Например, регуляризация Паули — Вилларса в случае неабелевой теории нарушает свойства эрмитовости и калибровочной инвариантности, решеточная регуляризация нарушает инвариантность по отношению к преобразованиям Пуанкаре и т.д. Конечно, в пределе ->0 эти свойства восстанавливаются (если мы были достаточно осторожны!). Свойства калибровочной и лоренц-инвариантности особенно важны в случае КХД, поэтому в дальнейшем мы будем использовать размерную регуляризацию, нарушающую лишь масштабную инвариантность. Этот метод, подробно развитый в работах т’Хофта и Велтмана [253] (см. также [48]), связан с так называемой аналитической регуляризацией [49, 233]. Он состоит в том, что все вычисления проводят в пространстве размерности D=4-, в конечном же ответе переходят к физическому пределу при ->0. При этом расходимости проявляются в виде полюсов по 1/. Насколько известно автору, математически строгого определения объекта в пространстве произвольной размерности D не существует, кроме случая, когда она равна положительному целому числу. Но этому не следует придавать слишком большого значения; нам необходимы лишь интерполяционные формулы, обладающие свойством калибровочной и пуанкаре-инвариантности и пригодные для вычисления фейнмановских интегралов. Такие интерполяционные формулы можно получить поэтапно. Рассмотрим сначала сходящийся интеграл вида (2)DdDkf(k2), где функция f, как правило, имеет вид f(k2)=(k2)r(k2– a2)– m с целочисленными значениями параметров r и m, а величины dDk и k2 определяются выражениями dDk=dk0dk1…dkD-1, k2=(k0)2– (k1)2– …-(kD-1)2. Так как функция f аналитична в плоскости комплексного переменного k0, контур интегрирования можно повернуть на 90° и перейти от контура (-,+), к контуру (-i,+i), т.е. совершить так называемый виковский поворот. Затем можно восстановить интегрирование по прямой (-,+), определив новую переменную k0– >kD=ik0. Таким образом, получаем обычный евклидов интеграл в пространстве размерности D

i

+

dk

1

…

+

dk

D

f(-k

2

),

 k

2

(k

1

)

2

+…+

(k

D

)

2

|k

E

|

2

.

–

2

–

2

E

E

Если элемент объема в D-мерном пространстве обозначить через dDkE=dk1…dkD, то, вводя полярные координаты, его можно записать в виде dDkE=d|kE|·|kE|D-1dD . Используя формулу dD=2D/2/(D/2), получаем наконец

d

D

k

f=

i

d|k

E

|·|k

E

|

D-1

f(-|k

E

|

2

).

(2)

D

(2)

D/2

(D/2)

0

Все приведенные выше выкладки справедливы только для целых положительных значений размерности D. Но последнюю формулу можно использовать для определения интеграла по пространству произвольной (даже комплексной) размерности D и произвольных значений параметров r и m.

Рассмотрим далее интеграл от полиномиального по компонентам импульса k выражения, умноженного на функцию f(k2); этот интеграл можно свести к ранее изученному случаю, записывая его, например, в виде

d

D

kf(k

2

)k

k

 =

g

d

D

kf(k

2

)k

2